平面向量的几何与物理应用

向量把几何图中的方向与长度变成可计算的关系。选定原点后，点 $A$ 的位置向量记作 $𝐚$；两点之差 $𝐛-𝐚$ 才是从 $A$ 到 $B$ 的位移。以下用同一三角形说明怎样证明一个几何性质，再把相同的加法用于实际运动。

三角形三条中线的交点

设非退化三角形顶点的位置向量为 $𝐚,𝐛,𝐜$。边 $BC$ 的中点 $M$ 有位置向量 $𝐦=(𝐛+𝐜)/2$。从 $A$ 沿中线走全程的 $2/3$，所得点 $G$ 为 $$𝐠=𝐚+\frac{2}{3}(𝐦-𝐚)=\frac{𝐚+𝐛+𝐜}{3}.$$ 右边对 $A,B,C$ 完全对称。若从 $B$ 或 $C$ 出发对各自的中点做同样计算，也得到同一个 $𝐠$，所以三条中线确实相交于 $G$，而且每条中线都被它按顶点到交点与交点到边中点 $2:1$ 分割。这里不是先假定三线相交，而是分别算出同一点。

从任一顶点走相应中线的三分之二，位置向量都等于三个顶点位置的平均。

取 $A=(0,0)$、$B=(6,0)$、$C=(2,4)$，得到 $G=(8/3,4/3)$。例如 $BC$ 中点为 $(4,2)$，从 $A$ 走它的 $2/3$ 恰到 $(8/3,4/3)$。同一坐标还可求面积：以 $AB$ 为底 6、从 $C$ 到底边的高 4，面积为 12。更一般地，面积是 $|det(𝐛-𝐚,𝐜-𝐚)|/2$；行列式计算的是两边张成的平行四边形有向面积，取绝对值再除以二才是三角形面积。

水流与船速要先说明参考系

一条宽 60 米的河中，船相对水以每秒 3 米正向北行驶，水相对岸以每秒 1 米向东流。相对岸的速度是 $(1,3)$ 米/秒，不是 $1+3=4$ 米/秒；其大小是 $\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ 米/秒。到对岸需 $60/3=20$ 秒，这段时间向东漂移 $1\times 20=20$ 米。把北向分量当成合速度来算渡河时间，是因为河宽只沿南北方向测量。

若希望船头调整到正对岸，必须让船相对水的西向分量抵消每秒 1 米的东向水流；只说“船速 3 米/秒”而不说明是相对水还是相对岸，就无法计算航线。向量加法服务于同一时刻、同一单位和明确参考系。

力的数量积给出功

恒力 $𝐅$ 作用于位移 $𝐬$，所做的功为 $W=𝐅\cdot 𝐬=|𝐅||𝐬|\cos \theta$。一人以 10 牛的恒力斜向上拉物体，力与水平位移夹角 $60^{\circ }$，物体水平移动 5 米，则 $W=10\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=25$ 焦耳。只有沿位移方向的 5 牛分量贡献了这段功；垂直分量在这个模型中不贡献功。向量的内积进一步说明投影公式。

平面向量还把余弦定理写成 $|𝐮-𝐯{|}^2=|𝐮{|}^2+|𝐯{|}^2-2𝐮\cdot 𝐯$；若已知三边求面积，再看海伦公式。这些链接分别回答“边与角”和“边与面积”，不必在一道题里强用所有工具。

参考资料

• OpenStax，Calculus Volume 3，§2.1：向量合成与位移。
• OpenStax，同书 §2.3：数量积、投影与功。
• 继续阅读：平面向量基本定理与坐标表示、正弦定理、余弦定理。