复数的三角表示

复平面上的非零点可以用“离原点多远”和“从正实轴转了多少角”来定位。若 $z=a+bi\ne 0$，令 $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}>0$，取一个从正实轴到 $(a,b)$ 的角 $\theta$，就有 $a=r\cos \theta$、$b=r\sin \theta$。于是 $$z=r(\cos \theta +i\sin \theta ).$$ 这叫复数的三角表示。$r$ 唯一，幅角 $\theta$ 只在相差整数个 $2\pi$ 的意义下确定；零复数没有确定幅角。

从坐标读出正确象限

取 $z=\sqrt{3}+i$，模为 $2$，点在第一象限，故可取 $\theta =\pi /6$： $$z=2(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}).$$ 若改为 $-1+i$，模为 $\sqrt{2}$，点在第二象限，可取幅角 $3\pi /4$。只计算 $\arctan (b/a)=\arctan (-1)=-\pi /4$ 会落到第四象限；反正切值还要结合两坐标的符号判断。复数的坐标与幅角应能在同一图上互相核对。

横纵分量分别是 $r\cos \theta$ 与 $r\sin \theta$。

复数乘法与幅角相加

把 $z_1=r_1(\cos \alpha +i\sin \alpha )$ 与 $z_2=r_2(\cos \beta +i\sin \beta )$ 相乘，先用 $i^2=-1$ 展开：实部系数为 $\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$，虚部系数为 $\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$。由和角公式，它们正是 $\cos (\alpha +\beta )$ 与 $\sin (\alpha +\beta )$，所以 $$z_1{z}_2=r_1{r}_2[\cos (\alpha +\beta )+i\sin (\alpha +\beta )].$$ 这既解释了模相乘，也解释了方向相加。对 $z_2\ne 0$，除法相应地把模相除、把幅角相减；它是“乘以逆数”，不是把角度直接除以角度。

以前面的 $z=\sqrt{3}+i$ 为例，平方的模是 $2^2=4$，幅角是 $\pi /3$，所以 $z^2=4(1/2+i\sqrt{3}/2)=2+2\sqrt{3}i$。直角形式也给出 $(\sqrt{3}+i{)}^2=3+2\sqrt{3}i-1=2+2\sqrt{3}i$，两条路线一致。重复相乘可归纳出 $z^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$（正整数 $n$）；负整数幂还需 $z\ne 0$。

练习：$z=2i$ 的模与一个幅角分别是多少？点为 $(0,2)$，模 2、幅角 $\pi /2$；同一数也可取 $\pi /2+2k\pi$，$k\in \mathbb{Z}$。

参考资料

• OpenStax，Precalculus 2e，§8.5：复数的极坐标形式与乘法。
• 继续阅读：复数的四则运算、任意角与诱导公式、欧拉公式。