三角恒等式

三角恒等式（trigonometric identities）是在各边有定义的角度上恒成立的正弦、余弦等函数关系。它们可以从单位圆上的坐标和旋转推出；解三角问题时，应先看等式的适用范围，再决定用哪一条化简。

把点 $(1,0)$ 逆时针转过角 $\beta$，得到 $(\cos \beta ,\sin \beta )$。如果再转过 $\alpha$，终点的总角度是 $\alpha +\beta$。这个简单动作能同时推出最常用的两条和角公式。

同一转角作用在两个坐标轴上

先看转过 $\alpha$ 后的两条单位基向量。水平基向量 $e_1=(1,0)$ 变为 $(\cos \alpha ,\sin \alpha )$；竖直基向量 $e_2=(0,1)$ 原来比水平基向量超前一个直角，转后变为 $(-\sin \alpha ,\cos \alpha )$。

任意点 $(x,y)=x{e}_1+y{e}_2$ 随整体刚性旋转时，两个分量保持同样的线性组合。因此转角 $\alpha$ 的坐标规则为 $$R_{\alpha }(x,y)=(x\cos \alpha -y\sin \alpha ,x\sin \alpha +y\cos \alpha ).$$ 这就是矩阵 $\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$ 对列向量的作用。负号来自竖直基向量旋转后向左的水平投影。

先记录点P的两个坐标，再对它使用同一个旋转规则，就得到和角公式。

把 $(x,y)=(\cos \beta ,\sin \beta )$ 代入上式。另一方面，终点总角度为 $\alpha +\beta$，坐标也等于 $(\cos (\alpha +\beta ),\sin (\alpha +\beta ))$。对应坐标相等，得到 $$\begin{array}{cc}\cos (\alpha +\beta )& =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta ,\\ \sin (\alpha +\beta )& =\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta .\end{array}$$ 这里比较的是同一个点的两种计算方式，不必把两条公式分别死记。

减角、倍角与一条实际计算

将 $\beta$ 换成 $-\beta$。单位圆关于横轴对称，所以 $\cos (-\beta )=\cos \beta$、$\sin (-\beta )=-\sin \beta$；于是 $$\begin{array}{cc}\cos (\alpha -\beta )& =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ,\\ \sin (\alpha -\beta )& =\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta .\end{array}$$ 再令两角相同，可得 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ 以及 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$。结合圆方程 ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$，后一式还可写成 $1-2{\sin }^2\alpha$ 或 $2{\cos }^2\alpha -1$。

例如求 $\cos 75^{\circ }$。把 $75^{\circ }$ 分成 $45^{\circ }+30^{\circ }$，用单位圆上的已知坐标： $$\begin{array}{cc}\cos 75^{\circ }& =\cos 45^{\circ }\cos 30^{\circ }-\sin 45^{\circ }\sin 30^{\circ }\\ & =\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}.\end{array}$$ 结果为正且小于 $\cos 45^{\circ }$，与第一象限内角度增大时横坐标减小的图像相符。图像提供检查方向的线索，精确值来自前面的等式。

正切的和角式有额外条件

在 $\cos \alpha$、$\cos \beta$ 和 $\cos (\alpha +\beta )$ 都非零时，把正弦和角式除以余弦和角式，再将分子分母同除以 $\cos \alpha \cos \beta$，得到 $$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }.$$ 分母为零时，右边无定义；这通常对应和角的余弦为零，不能直接把右边读作一个数。例如 $\alpha =\beta =\pi /4$ 时，两边所讨论的 $\tan (\pi /2)$ 均无定义。正弦、余弦的和角式在所有实数角上成立，正切式则必须附带除法条件。

与几何和微积分的连接

若两单位向量分别与横轴成角 $\alpha$、$\beta$，点积一方面是 $\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$，另一方面是夹角余弦 $\cos (\alpha -\beta )$。这就是减角公式在向量语言中的同一事实，也是余弦定理的核心一步。

固定 $\alpha$，让第二个角很小，和角公式又能把 $\sin (\alpha +h)-\sin \alpha$ 写成已知的 $\sin h$、$\cos h-1$。结合弧度下的极限，可推出正弦、余弦的导数；如果角度误用度数，导数公式会多出换算系数。

参考资料

• OpenStax，Precalculus 2e，§7.2 Sum and Difference Identities：和角、差角及其应用。
• 同书 §5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions：旋转坐标的单位圆基础。
• 继续阅读：单位圆与三角函数、余弦定理、欧拉公式。