斗鸡博弈

斗鸡博弈（chicken game）把两人都不愿单独退让、却更不愿双方都强硬的冲突写成收益表。名称是历史上的比喻；这里分析的是抽象策略，不涉及实际危险行为。

两人各选“强硬”或“退让”。下列收益只是教学设定，每格先甲后乙：

甲＼乙	强硬	退让
强硬	(−4,−4)	(3,0)
退让	(0,3)	(1,1)

如果乙强硬，甲退让得 0，比也强硬的 −4 好；若乙退让，甲强硬得 3，比自己也退让的 1 好。乙有同样的条件选择。因此（甲强硬，乙退让）和（甲退让，乙强硬）是两个纯策略纳什均衡。双方都强硬虽然最坏，却不是均衡：任何一方单独退让都可从 −4 升至 0。

随机化时的无差别条件

没有办法在两个不对称的纯策略均衡中，仅凭表格决定“应该由谁退”。另一种均衡是双方按相同概率随机选择。设乙以概率 $q$ 强硬；甲固定强硬的期望收益是 $$U_{\text{强}}=-4q+3(1-q)=3-7q,$$ 固定退让的期望收益是 $$U_{\text{退}}=0q+1(1-q)=1-q.$$ 甲若真要在两种行动间随机化，二者必须相等；解 $3-7q=1-q$ 得 $q=1/3$。乙也作同样比较，故双方各以 $1/3$ 的概率强硬构成对称混合均衡。这是关于策略概率的结论，不意味着实际每三次必有一次强硬。

三种均衡各有不同的解释。两个纯策略均衡明确指定哪一方退让；混合均衡则让双方事前都保持不确定，使对手无法仅凭自己的固定行动获得改选好处。混合均衡不是让每个人掷硬币后共同保证避开双方强硬：若随机选择相互独立，双方都强硬的概率仍为 $(1/3{)}^2=1/9$。把“无人有单方偏离诱因”误读成“坏结果不发生”，会错误理解纳什均衡的保证范围。

与囚徒困境、猎鹿博弈的区别

在囚徒困境里，背叛不论对方怎样选都更好，只有一个纯策略均衡；在本页，最佳行动随对方而变，而且双方都希望自己强硬、对方退让。猎鹿博弈也有两个纯策略均衡，但双方共同合作反而是彼此最喜欢的配合结果。看见同样“两个均衡”这件事，仍要回到收益表辨别利益冲突在哪里。

若把双方强硬的损失从 −4 改成 −1，甲强硬的期望收益变为 $3-4q$。它与退让的 $1-q$ 相等时，$q=2/3$。损失减轻后，对称混合均衡中的强硬概率从 $1/3$ 升到 $2/3$；求这类概率须重新列出无差别等式，不能沿用原表的答案。

参考资料

• MIT OpenCourseWare：博弈论第一讲，列举 chicken 与囚徒困境等策略式博弈。
• MIT：纳什均衡与混合策略讲义。