枪手博弈

枪手博弈（truel）是三人依次行动的概率博弈。一个常见结果看似反常：命中率最低的人，起手时故意不中，可能比立即选择目标更有利。这个结论只属于给定命中率、行动顺序、目标选择与获胜标准的数学模型；以下用三名虚构参与者的胜率演算它。

规定 A、B、C 按顺序轮流行动，已经退出的人跳过；每次可选择另一名仍在场者，或主动放弃本次行动。命中后目标退出，直到仅余一人。A、B、C 的命中概率分别为 $1/3,2/3,1$，各次尝试相互独立；每个人只最大化自己成为最后剩余者的概率。三人都在场时，B 会选 C，C 会选 B；下面先把这一点核实，再算 A 的第一步。

先算两人阶段

若只余 A、B，且轮到 A，记 A 最终胜率为 $W_{AB}$。A 本次命中概率为 $1/3$；A 未中且 B 未中后，局面回到原点。故 $$W_{AB}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}{W}_{AB}⟹W_{AB}=\frac{3}{7}.$$ 若先轮到 B，A 必须等 B 未中才有机会，胜率为 $(1-2/3)W_{AB}=1/7$。若只余 A、C 且轮到 A，A 唯一的机会是本次命中，胜率 $1/3$；若先轮到 C，A 的胜率为零。

后行动者的目标

三人都在场且轮到 C 时，若 C 让 B 退出，下一轮由 A 先行动；C 在 A 未中的 $2/3$ 情况下必胜。若 C 让 A 退出，下一轮由 B 先行动；C 只有在 B 未中的 $1/3$ 情况下必胜。因此 C 选择 B。

轮到 B 时，若 B 命中 A，下一轮 C 先行动，B 必败；若命中 C，下一轮 A 先行动，B 在 A–B 两人阶段的胜率为 $1-3/7=4/7$。B 未命中时，C 随后会让 B 退出。因此 B 瞄准 C 的胜率为 $(2/3)(4/7)=8/21$，瞄准 A 或主动放弃本轮的胜率为零。B 的最佳选择确为 C。

A 的三个起手选择

若 A 主动不中，B 以 $2/3$ 的概率让 C 退出，随后 A 先行动，A 胜率 $3/7$；B 以 $1/3$ 的概率未中，C 则必让 B 退出，随后 A 先行动，A 胜率 $1/3$。所以 $$P_{\text{放弃}}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{7}+\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{25}{63}\approx \mathrm{0.397.}$$ 若 A 选择 C，以 $1/3$ 的概率命中，此后由 B 先行动，A 胜率 $1/7$；未中时仍进入上一段 B 的局面。因此 $$P_{\text{选 C}}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{7}+\frac{2}{3}\cdot \frac{25}{63}=\frac{59}{189}\approx \mathrm{0.312.}$$ 若 A 选择 B，命中后轮到 C，A 胜率为 0；未中时又回到 B 的局面，于是 $P_{\text{选 B}}=(2/3)(25/63)=50/189\approx 0.265$。三个值比较得到：在本页规则下，A 第一轮主动不中的最终胜率最高。直觉上的关键不是“命中率低所以不行动”，而是 A 过早淘汰强者后，可能立刻面对另一个人先手的两人局面。

规则敏感性

若不允许故意不中，A 的可行策略只剩选择 B 或 C，最佳起手便是选 C。若改变行动顺序、命中率、退出后下一人是谁，或把“只求最后独存”改成“只求自己存活”，上面的递推树都需重算；这里的 $25/63$ 不会自动保持。它是概率与博弈论的教学例子，不是现实冲突的行动建议。

参考资料

• D. M. Kilgour，〈The Sequential Truel〉，《International Journal of Game Theory》，1975，研究顺序三人博弈及能否放弃一次行动等不同规则；本页数值案例另行推导。
• Osborne 与 Rubinstein：《A Course in Game Theory》作者书目页，扩展式博弈、策略与最优回应的框架。
• MIT：纳什均衡讲义，给定其他参与者策略时的单方最佳回应。