博弈论

博弈论（game theory）研究这样一类决策：一个人的结果还取决于别人怎样行动。它不是“教人算计”的一套固定招数，而是先把参与者、可选行动、已知信息和收益写清，再问每个人面对别人的行动会怎样选择。

两家店同时决定是否降价，就是一个小博弈。若两家都维持价格，各得 3；只有一家降价，它得 5、另一家得 0；都降价则各得 1。这里的数只是教学用的收益排序，不是实际利润。先看行玩家（甲）的收益，列玩家（乙）的收益写在后面：

甲＼乙	维持	降价
维持	(3,3)	(0,5)
降价	(5,0)	(1,1)

乙维持时，甲降价得 5，维持只得 3；乙降价时，甲降价得 1，维持得 0。乙的比较也一样。因此双方都降价。要看出这个结论，不能只寻找表里最大的数字，还须逐列、逐行比较单方改变行动的收益。这也是囚徒困境与纳什均衡的入门算例。

一个博弈的四项数据

有限博弈可以用参与者集合 $N$ 、各人的行动或策略集合 $S_{i}$ ，以及收益函数 $u_{i} : S_{1} \times \dots \times S_{n} \to ℝ$ 表示。上表中 $S_{1} = S_{2} = {维持, 降价}$ ，而 $u_{1} (维持, 降价) = 0$ 。收益表达参与者在该模型中的偏好；它未必等于货币，也不能在没有依据时拿两个不同人的收益作精确的幸福量比较。

如果行动同时决定，表格称为策略式；“同时”也包括虽有先后却无法观察对方选择的情形。如果甲先行动、乙看见后再行动，乙的完整策略必须说明“甲维持时怎么办，甲降价时怎么办”，不只是最后实际走到的那一步。这样的扩展式更适合用树画出，见蜈蚣博弈和海盗分金。还要问行动是公开还是私下、收益是否为各方所知、博弈进行几轮；漏掉其中一项，答案可能改变。

从行动到策略

占优策略指无论别人怎样行动，某一行动都比自己的其他行动好。上例中“降价”严格占优。但多数博弈没有占优策略：在猎鹿博弈里，愿不愿意合作取决于对方合作的可能性。最佳回应是在别人策略给定时使自己收益最大的选择；双方行动互为最佳回应，就得到纳什均衡。

人也可以按概率选择行动，这叫混合策略。例如抛一枚公平硬币，以各 $1 / 2$ 的概率选择正面或反面；若收益取决于双方硬币是否相同，见零和博弈。随机化不是在求解时“拿不准”，而是明确规定了长期频率或一次选择的概率。

四条不同的阅读路线

竞争：零和博弈把一方所得设为另一方所失；斗鸡博弈有两个不对称的纯策略均衡。
合作与协调：囚徒困境、重复博弈和猎鹿博弈区分短期诱因、长期激励与互相信任。
次序与承诺：蜈蚣博弈、海盗分金从最后一步向前推；智猪博弈显示搭便车的激励。
不确定性与资源：酒吧博弈研究拥挤下的选择；警察与小偷博弈研究图上的追逐；枪手博弈用概率展示行动顺序的影响。

同一个现实问题可以有不止一种模型。比如把竞争视为一次性的，同时行动可能得到上表；允许双方观察历史并长期相遇时，策略集合变大，重复博弈中便可能出现另一种结果。模型的结论属于写明的规则，不能脱离规则直接套到现实。

参考资料

Osborne 与 Rubinstein：《A Course in Game Theory》作者书目页，策略式、扩展式与均衡的系统论述。
MIT：策略式博弈与纳什均衡讲义。