集合

集合（set）是把一些确定的对象放在一起所形成的数学对象，其中的对象叫作元素。两个集合只要元素完全相同，就是同一个集合；元素的排列顺序和重复书写的次数不影响集合。

例如，方程 $x^{2} = 1$ 的实数解有两个，可以把它们合写成解集 ${- 1, 1}$ 。花括号表示“把这些对象作为一个整体”。集合语言使我们既能讨论某一个解，也能讨论所有解之间的关系。

怎样说明一个集合

设一枚骰子的六种点数构成集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .$ 如果只取偶数点数，就得到 $A = {2, 4, 6}$ 。记号 $2 \in A$ 读作“2 属于 A”，而 $3 \notin A$ 表示 3 不是 A 的元素。

除了逐个列举，还可以用条件描述同一个集合： $A = {n \in U : n 是偶数} .$ 冒号前说明从哪里取对象，冒号后说明筛选条件。这样写特别适合不能逐项列完的集合。例如 ${n \in ℤ : n > 0}$ 是全体正整数，其中 $ℤ$ 表示整数集合。

范围会影响结果。方程 $x^{2} = 1$ 在实数中的解集是 ${- 1, 1}$ ，限制在非负实数中则只有 ${1}$ 。“很大的数”还没有确定的范围和标准，而“超过一百万的整数”已经能逐一判断某个对象是否属于其中。定义一个集合并不要求能迅速找到它的每个元素，但成员条件应当明确。

集合也不保留次数。例如 ${1, 2, 2} = {1, 2}$ 。如果一组测量记录为 1、2、2，改写成集合后就丢失了一次重复测量；计算平均值时仍须使用原记录。需要保留顺序的对象可以用序列表示，需要保留次数的对象可以用多重集表示。

“属于”和“包含”问的是两件事

继续看骰子集合。 $A = {2, 4, 6}$ 中的每个元素都在 $U$ 中，因而称 A 是 U 的子集，记为 $A \subseteq U$ 。这个符号问的是一整组对象是否全部被包含，而 $2 \in A$ 问的是一个对象是否属于其中。

集合本身也可以充当元素。取 $C = {1, {2}} .$ C 的两个元素分别是数字 1 和集合 ${2}$ 。因此 ${2} \in C$ ，但 $2 \notin C$ 。另一方面， ${1} \subseteq C$ ，因为它唯一的元素 1 在 C 中； ${2} \subseteq̸ C$ ，因为它唯一的元素 2 不在 C 中。辨别这两种关系时，要先看清正在检查的是哪个对象。

没有任何元素的集合称为空集，记作 $\emptyset$ 。它与 ${\emptyset}$ 不同：前者没有元素，后者有一个元素，这个元素本身是空集。空集是任何集合的子集，因为不存在“属于空集却不属于另一个集合”的元素。

证明两个集合相等，常用双向包含：先证明 A 的每个元素都在 B 中，再证明 B 的每个元素都在 A 中。这样双方都没有多余的元素，便有 $A = B$ 。这里的 $\subseteq$ 允许相等；若 A 是 B 的子集而又不等于 B，记为 $A ⊊ B$ ，称为真子集。

把两个筛选条件合起来

除偶数点数 $A = {2, 4, 6}$ 外，再设 $B = {1, 2, 3}$ ，表示不超过 3 的点数。现在有几种不同的筛选要求。

“是偶数，或者不超过 3”得到并集 $A \cup B$ ；这里“或者”允许两个条件同时成立。“是偶数，并且不超过 3”得到交集 $A \cap B$ 。逐项筛选，得到 $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 6}, A \cap B = {2} .$ 下图将两种筛选并排画出。左图着色整个 A 与 B，只要在任一圈内便被保留；右图只着色两圈重叠处，保留下来的元素只有 2。

骰子点数集合的并集与交集，左图两圈整体着色包含一二三四六，右图只着色重叠处的二 — 并集取两圈覆盖的全部区域，交集只取共同区域。

点数 2 同时符合两个条件，但在并集中只出现一次。记 $| A |$ 为有限集合 A 的元素个数，就有 $| A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B | = 3 + 3 - 1 = 5.$ 减去交集，是因为先前相加时把其中的元素计算了两遍。这是组合数学中容斥计数的起点。

“是偶数，但超过 3”得到差集 $A ∖ B = {4, 6}$ ；反过来， $B ∖ A = {1, 3}$ 。差集有方向，交换两集合会改变答案。

在已经指定的全集 U 内，所有不属于 A 的元素组成 A 的补集： $A^{c} = U ∖ A = {1, 3, 5} .$ 这里的“不属于”仅在骰子的六种点数中检查。如果全集扩成从 1 到 10 的整数，同时保持 A 仍为 ${2, 4, 6}$ ，补集中就还包括 7、8、9、10。

区间运算怎样处理端点

集合的元素也可以遍布一段连续范围。令 $A = [- 1, 2)$ 、 $B = (0, 3]$ ，方括号表示包括端点，圆括号表示不包括。

同时属于两个区间，需要 $x > 0$ 且 $x < 2$ ，所以交集是 $(0, 2)$ 。至少属于一个区间，就覆盖了从 −1 到 3 的所有点，故并集为 $[- 1, 3]$ 。

再求差集。A 中的 0 不属于 B，应当保留；A 中任何大于 0 的点都属于 B，应当删去，因此 $A ∖ B = [- 1, 0]$ 。同理，2 属于 B 却不属于 A，所以 $B ∖ A = [2, 3]$ 。逐个检查边界点，便能决定最后使用圆括号还是方括号。

集合等式为什么成立

求“并集的补集”，就是找两个条件都不符合的对象。仍用骰子例子， $A \cup B$ 只缺少 5；而既不是偶数、又不小于等于 3 的点数也只有 5。这提示了德摩根律 $(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c} .$ 下图把两种描述放在同一个全集中：左边先合并两个圈，再取圈外；右边要求同时在 A 外和 B 外。两边着色区域相同，本例都只包含点数 5。

左右两个相同的全集与相交圆，均着色两圈以外区域，展示并集的补等于两个补集的交 — 德摩根律把“并集之外”改写成“两个集合都不属于”。

一般证明可以从任意一个全集中的元素 x 出发。它属于左边，当且仅当它不属于 $A \cup B$ ；这又等价于 $x \notin A$ 且 $x \notin B$ ，正是属于右边的条件。左右两边的成员条件完全相同，集合便相等。

另一条德摩根律为 $(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c} .$ “不同时满足两个条件”，意味着至少一个条件失败。例如骰子点数 4 不是“既偶数又不超过 3”的点数，尽管它满足偶数这个条件。这说明右侧要用并集。

用同样的方法，可以证明分配律： $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) .$ 左侧要求先属于 A，再在 B、C 中至少属于一个。按后一个条件分成两种情况，正好得到右侧的两部分。

差集的分配形式则需要重新检查。例如 $A ∖ (B \cup C)$ 应当是 $(A ∖ B) \cap (A ∖ C)$ 。若误用并集，取 $A = B = {1}$ 、 $C = \emptyset$ ，左侧为空，误写的右侧却含有 1。一个具体元素已足以判定两集合不等。

用元素检查区域

下面固定全集 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ ， $A = {2, 4, 6}$ ， $B = {4, 5, 6}$ 。选择一种运算后，先逐个判断哪些数满足条件，再与着色区域核对。特别比较“并集的补集”和“两个补集的交集”：两种描述都留下 1 与 3。这个有限例子帮助读图，前面的逐元素论证才说明等式对任意集合成立。

集合的交、并与补

选择一种集合运算，对照区域和元素，看符号描述的是哪些对象。

静态配图与完整推导见本节正文；交互演示需浏览器启用 JavaScript。

用集合建立配对和选择

有时一个对象由两个部分组成，例如一次选择由“尺码”和“颜色”共同决定。这需要有序对：第一项与第二项各有位置， $(1, 2)$ 与 $(2, 1)$ 因而不同。

设 $A = {0, 1}$ 、 $B = {a, b, c}$ 。全部可能的有序对组成笛卡尔积 $A \times B = {(0, a), (0, b), (0, c), (1, a), (1, b), (1, c)} .$ 每个第一项都配上三个第二项，共有 $2 \cdot 3 = 6$ 对。一般有限集合满足 $| A \times B | = | A | | B |$ ；有一边为空时，连一个完整配对也没有，积便为空。函数的输入与输出可以组成有序对，因此函数也能用这种语言描述。

另一种问题是从一个集合中选出任意一些元素。若 $A = {u, v}$ ，全部选法为 $\emptyset, {u}, {v}, {u, v} .$ 把这些子集作为元素放在一起，得到 A 的幂集 $𝒫 (A)$ 。一个有 n 个元素的集合，每个元素都有“选”与“不选”两种状态，故幂集有 $2^{n}$ 个元素。也可以用一串 0、1 记录这些选择；在概率中，事件的指示函数采用的就是这种记录方式。

按同一种标准分组

将整数按除以 3 的余数分组，会得到三类：余 0、余 1、余 2。每个整数恰在其中一类，各类互不重叠，合起来又包含全部整数。这样的一组非空子集叫作原集合的划分。

这里“属于同一类”有三个性质：每个数与自己同类；a 与 b 同类时，b 也与 a 同类；a 与 b 同类、b 与 c 同类时，a 与 c 也同类。这分别称为自反性、对称性和传递性。具备这三条性质的关系叫作等价关系。

给定等价关系，把与 a 等价的所有元素收集起来，便得到 a 的等价类。若两类共享一个元素 z，第一类的任意元素可以经由 z 与第二类的代表相连，由对称性和传递性可知它也在第二类；反过来也成立。因此两类一旦相交就必相同。这说明等价类确实形成划分。反过来，从任意划分出发，把“在同一块中”作为等价的定义，也具有上述三条性质。

“看起来接近”未必能如此分组。例如把两个相差不到 1 的实数称为接近，0 与 0.6 接近，0.6 与 1.2 接近，0 与 1.2 却不接近。缺少传递性时，就不能据此直接形成互不重叠的等价类。整数的同余提供了严格成立的分组例子。

无限集合的大小

对有限集合，可以数元素个数；对无限集合，可以改问元素能否一一配对。若两集合之间存在双射，就称它们等势。

非负整数与非负偶数可按 $n \mapsto 2 n$ 配对：0 配 0，1 配 2，2 配 4，依此类推。不同输入不会配到同一个偶数，每个非负偶数也恰好对应它的一半。因此无限集合可能与自己的真子集等势。

但无限集合也有不同的大小。康托尔定理说，对任何集合 A，函数 $f : A \to 𝒫 (A)$ 都不可能列出 A 的全部子集。理解这个结论，可以设想每个元素 x 名下登记一个子集 f(x)，然后试着构造一个没有登记过的子集。

构造方法是：检查 x 是否在自己名下的子集 f(x) 中；不在，就把 x 选入新集合，在，就不选。由此得到 $D = {x \in A : x \notin f (x)} .$ D 不可能等于任何 f(d)。如果 d 属于 D，构造规则要求 d 不属于 f(d)，两集合在 d 处不同；如果 d 不属于 D，规则又要求 d 属于 f(d)，仍然不同。因此总有一个子集漏在列表之外。

同时， $x \mapsto {x}$ 能把 A 中的不同元素送到不同子集。A 可以嵌入自己的幂集，而幂集无法被 A 一一列尽，这就是幂集严格更大的含义。有限情形的 $2^{n} > n$ 是同一个现象的计数形式。

集合论的发展与构造边界

Cantor 在 1874 年的论文中比较代数实数与全体实数的大小，推动了对不同无限规模的研究。MacTutor 集合论史介绍了这一工作及后续的发展。

研究也表明，并非随便描述一个“全体”都能得到集合。若假设所有不属于自身的集合组成一个集合 R，再问 R 是否属于自身，就会出现矛盾：属于自身便不符合收集条件，不属于自身又符合条件而应被收集。这是罗素悖论的形式。

Zermelo 在 1908 年提出公理系统，限制哪些构造能够产生集合。其中的分离原则允许从一个已给定的集合中筛选满足条件的元素，而不直接承认一个包含所有集合的全集。这样，开头从骰子全集 U 中筛选偶数，与任意搜集“所有集合”便有了明确区别。Stanford Encyclopedia：Zermelo’s Axiomatization of Set Theory

参考资料

Jiří Lebl，Basic Analysis，Basic set theory：集合、函数与大小比较。
J. J. O’Connor、E. F. Robertson，A history of set theory。
Stanford Encyclopedia of Philosophy，Zermelo’s Axiomatization of Set Theory。
相关条目：函数、逻辑、组合数学、概率、拓扑空间。