几何平均数与调和平均数

算术平均数平均的是可相加的量；几何平均数平均的是连乘因子；调和平均数常用于“分子固定、分母随情形变化”的比率。对正数 $x_{1}, \dots, x_{n}$ ，三者分别为 $M_{A} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}, M_{G} = {(\prod_{i = 1}^{n} x_{i})}^{1 / n}, M_{H} = \frac{n}{\sum_{i = 1}^{n} 1 / x_{i}} .$ 这些公式不是三种可随意互换的“打分方法”；先写清每个数据代表的总量怎样合并，再选择平均方式。

两期收益的连乘因子

一个量第一期增长 20%，第二期下降 20%，对应增长因子 $1.2$ 和 $0.8$ 。从 100 出发，先到 120，再到 96：两期合起来减少 4%。若用同一个等效增长因子 $f$ 连续作用两期，就须满足 $100 f^{2} = 96, f = \sqrt{1.2 \times 0.8} = \sqrt{0.96} \approx 0.979796.$ 故等效每期增长率约为 $- 2.0204 %$ 。增长率的算术均值 $(20 % - 20 %) / 2 = 0$ ，错在它把以不同期初量计算的百分比当成可直接相加的金额。复利与贴现也从同一乘积关系导出跨期余额。

若各期因子均为正， $n$ 期的等效因子为 $(\prod_{i = 1}^{n} f_{i})^{1 / n}$ ，等效增长率再减 1。若某期因子为零，终值归零，几何平均因子为零；若因子为负，它已不再是普通正余额的逐期增长模型，不能照用这个解释。

一百先增长百分之二十至一百二十，再下降百分之二十至九十六；两条相等比例的等效增长箭头也到九十六 — 相同的百分之二十对应不同的期初量；等效每期率由乘积而非百分点的算术均值决定。

等距离往返的平均速度

骑行者去程走 60 千米，速度 60 千米／小时；返程走 60 千米，速度 30 千米／小时。去程用 1 小时，返程用 2 小时，总距离 120 千米、总时间 3 小时，所以全程平均速度为 40 千米／小时。

若两段距离相等，令其各为 $d$ ，两速度为正数 $v_{1}, v_{2}$ ，则 $\bar{v} = \frac{2 d}{d / v_{1} + d / v_{2}} = \frac{2}{1 / v_{1} + 1 / v_{2}} = M_{H} (v_{1}, v_{2}) .$ 这里调和平均数不是记忆口诀，而是总距离除以总时间的结果。若改为两段时间相等，总距离是 $t v_{1} + t v_{2}$ 、总时间是 $2 t$ ，平均速度改为算术平均 $(v_{1} + v_{2}) / 2 = 45$ 千米／小时。条件改变了，平均数也改变了。

相同六十千米的去程用一小时、返程用两小时，时间轴显示总路程一百二十千米用三小时，平均速度四十千米每小时 — 距离相同不等于用时相同；图上的两段长度一样，时间跨度不同。

三种平均数的次序

对两个正数 $a, b$ ，由 $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^{2} \geq 0$ 得 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ ，即 $M_{A} \geq M_{G}$ 。再对正数 $1 / a, 1 / b$ 应用同一个结论： $(1 / a + 1 / b) / 2 \geq 1 / \sqrt{a b}$ ；两边取倒数（均为正）得到 $M_{H} \leq M_{G}$ 。因此 $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a b} \geq \frac{2 a b}{a + b},$ 等号恰在 $a = b$ 时成立。这里的证明只针对两个正数；一般 $n$ 项也满足算术 ≥ 几何 ≥ 调和，但需要相应的多项不等式证明。对于 60 与 30，三者依次为 45、约 42.43、40；大小关系能检查计算，却不能代替判断该用哪一种平均数。

参考与延伸