微积分

微积分是研究连续变化与累积的数学分支，主要由微分学和积分学组成。微分学从函数研究局部变化率，积分学把局部量累积为整体量；极限为这两种过程提供严格的定义。

三个概念怎样联系

极限回答“不断逼近时会发生什么”；导数通过差商的极限刻画瞬时变化；积分通过分割求和的极限刻画总量。这不是三个孤立的计算规则，而是一套互相联系的描述方式。

左图速度函数2t在零到一时间段的面积为一，右图对应累计位移函数t平方 — 速度曲线下的面积给出位置变化；位置曲线的切线斜率又给出速度。

例如物体位置为 $s (t) = t^{2}$ 米（ $t$ 以秒计）时，速度为 $v (t) = 2 t$ 米每秒。从 $t = 1$ 到 $t = 3$ ，位移是 $9 - 1 = 8$ 米，也可以由 $\int_{1}^{3} 2 t d t = 8$ 求得。速度的数值不是位移，连接两者的是时间积分。

微积分基本定理

设 $f$ 在 $[a, b]$ 连续，定义累计函数 $A (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t .$ 基本定理的一部分说明，在区间内部有 $A^{'} (x) = f (x)$ 。其原因可由增量理解： $\frac{A (x + h) - A (x)}{h} = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t .$ 右边是小区间上的平均值；连续性保证区间缩小时它趋于 $f (x)$ 。

另一方面，若 $F^{'} = f$ ，那么 $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .$ 因为 $A$ 与 $F$ 的导数相同，它们在该区间只相差一个常数。基本定理把繁琐的求和极限转化为求原函数与代入端点，但使用之前仍需检查函数及端点的条件。

不同问题需要不同工具

问题	数学量	需要保留的信息
某时刻变化多快	导数	自变量、单位、该点是否可导
一段时间累计多少	定积分	上下限、正负方向、是否收敛
变化率已知，求原量	原函数或微分方程	初始值决定积分常数
寻找最大或最小值	导数与优化	驻点、不可导点及边界

例如只知道速度为 $2 t$ ，只能推出位置 $s (t) = t^{2} + C$ 。再知道 $s (0) = 5$ ，才确定 $C = 5$ 。变化率会丢失常数信息，积分无法凭空恢复初始位置。

解析解之外：数值近似

不是每个原函数都能用有限个初等函数表示。数值积分仍可以近似定积分。例如用梯形法估计 $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ ，一步得到 $1 / 2$ ，两等分得到 $3 / 8$ ，四等分得到 $11 / 32$ ，逐步接近真值 $1 / 3$ 。

近似结果需要误差控制。数据有噪声时，差分会把误差除以很小的步长，所以“步长越小就一定越准”并不成立；数值微分需要平衡截断误差与数据、舍入误差。

进一步的方向

多元微积分把导数推广到偏导数、梯度和线性映射，把积分推广到平面、空间及曲线曲面。线性代数描述这些局部线性结构，微分方程描述未知函数与其导数之间的关系，数学建模则把现实假设转成可计算的量。

延伸阅读

OpenStax，《Calculus Volume 1》§5.3：微积分基本定理。
导数 · 积分 · 优化 · 微分方程