勾股定理

勾股定理说明：在欧氏平面上的直角三角形中，两条直角边长度的平方之和，等于斜边长度的平方。若直角边长为 $a, b$ ，斜边长为 $c$ ，则 $a^{2} + b^{2} = c^{2} .$ 斜边是直角所对的边，也是三角形中最长的边。定理中的平方可解释为以各边为边长所作正方形的面积。

用面积拼合证明

把四个全等的直角三角形放在边长为 $a + b$ 的大正方形内，使四条斜边围出中间图形。

四个直角三角形拼在大正方形四角，中间留下以斜边c为边长的正方形 — 外部面积 (a+b)² 等于四个三角形的总面积 2ab 加上中间正方形面积 c²。

中间四条边都长为 $c$ ；其相邻边夹角为 90 度，因为原三角形两个锐角之和为 90 度。因此中间确实是正方形，而不只是边长相等的任意四边形。比较面积： $(a + b)^{2} = 4 \cdot \frac{a b}{2} + c^{2} .$ 展开并消去 $2 a b$ ，得到 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ 。证明同时解释了为什么结论中出现平方。

一个长度计算与一个判定

直角边分别为 3 和 4 时，斜边为 $\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ 。若已知斜边 13、一条直角边 5，则另一条为 $\sqrt{1 3^{2} - 5^{2}} = 12$ ；斜边的平方应被减去一条直角边的平方，不能把已知两边都相加。

逆命题也成立：若一个三角形的三条边满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则 $c$ 所对的角是直角。可另作两直角边为 $a, b$ 的直角三角形，由勾股定理知斜边也是 $c$ ；两三角形三边对应相等，因而全等。

所以边长 5、12、13 可以判定为直角三角形，而 2、3、4 不满足。判定时先找最长边作为候选斜边。

坐标距离公式

平面上两点 $P = (x_{1}, y_{1})$ 与 $Q = (x_{2}, y_{2})$ 的水平、竖直位移互相垂直，因而 $d (P, Q) = \sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}} .$ 例如 $P = (1, 2)$ 、 $Q = (4, 6)$ 的距离为 5。三维中对互相垂直的坐标方向重复应用，得到 $\sqrt{Δ x^{2} + Δ y^{2} + Δ z^{2}}$ 。

在内积空间中，这推广为：若 $⟨ u, v ⟩ = 0$ ，则 $‖ u + v ‖^{2} = ‖ u ‖^{2} + ‖ v ‖^{2}$ 。垂直性消去了展开式中的交叉项。

为什么需要“直角”和“欧氏”

一般三角形遵循余弦定理 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C,$ 其中 $C$ 是两边 $a, b$ 的夹角。直角时余弦为零，才退化为勾股定理。曲面上以测地线为边的三角形还会受曲率影响，例如球面三角形不能直接套用欧氏勾股公式。

延伸阅读

Euclid，《几何原本》第一卷命题 47（David E. Joyce 编注）：经典几何证明。
向量空间 · 圆锥曲线 · 环面