平面向量的几何与物理应用

向量把几何图中的方向与长度变成可计算的关系。选定原点后，点 $A$ 的位置向量记作 $𝐚$ ；两点之差 $𝐛 - 𝐚$ 才是从 $A$ 到 $B$ 的位移。以下用同一三角形说明怎样证明一个几何性质，再把相同的加法用于实际运动。

三条中线为何交于同一点

设非退化三角形顶点的位置向量为 $𝐚, 𝐛, 𝐜$ 。边 $B C$ 的中点 $M$ 有位置向量 $𝐦 = (𝐛 + 𝐜) / 2$ 。从 $A$ 沿中线走全程的 $2 / 3$ ，所得点 $G$ 为 $𝐠 = 𝐚 + \frac{2}{3} (𝐦 - 𝐚) = \frac{𝐚 + 𝐛 + 𝐜}{3} .$ 右边对 $A, B, C$ 完全对称。若从 $B$ 或 $C$ 出发对各自的中点做同样计算，也得到同一个 $𝐠$ ，所以三条中线确实相交于 $G$ ，而且每条中线都被它按顶点到交点与交点到边中点 $2 : 1$ 分割。这里不是先假定三线相交，而是分别算出同一点。

三角形ABC的三条中线分别通向对边中点，并在G交会；一条中线标出顶点到G与G到中点为二比一 — 从任一顶点走相应中线的三分之二，位置向量都等于三个顶点位置的平均。

取 $A = (0, 0)$ 、 $B = (6, 0)$ 、 $C = (2, 4)$ ，得到 $G = (8 / 3, 4 / 3)$ 。例如 $B C$ 中点为 $(4, 2)$ ，从 $A$ 走它的 $2 / 3$ 恰到 $(8 / 3, 4 / 3)$ 。同一坐标还可求面积：以 $A B$ 为底 6、从 $C$ 到底边的高 4，面积为 12。更一般地，面积是 $| det (𝐛 - 𝐚, 𝐜 - 𝐚) | / 2$ ；行列式计算的是两边张成的平行四边形有向面积，取绝对值再除以二才是三角形面积。

水流与船速要先说明参考系

一条宽 60 米的河中，船相对水以每秒 3 米正向北行驶，水相对岸以每秒 1 米向东流。相对岸的速度是 $(1, 3)$ 米/秒，不是 $1 + 3 = 4$ 米/秒；其大小是 $\sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$ 米/秒。到对岸需 $60 / 3 = 20$ 秒，这段时间向东漂移 $1 \times 20 = 20$ 米。把北向分量当成合速度来算渡河时间，是因为河宽只沿南北方向测量。

若希望船头调整到正对岸，必须让船相对水的西向分量抵消每秒 1 米的东向水流；只说“船速 3 米/秒”而不说明是相对水还是相对岸，就无法计算航线。向量加法服务于同一时刻、同一单位和明确参考系。

力的数量积给出功

恒力 $𝐅$ 作用于位移 $𝐬$ ，所做的功为 $W = 𝐅 \cdot 𝐬 = | 𝐅 | | 𝐬 | \cos θ$ 。一人以 10 牛的恒力斜向上拉物体，力与水平位移夹角 $6 0^{\circ}$ ，物体水平移动 5 米，则 $W = 10 \cdot 5 \cdot \cos 6 0^{\circ} = 25$ 焦耳。只有沿位移方向的 5 牛分量贡献了这段功；垂直分量在这个模型中不贡献功。向量的内积进一步说明投影公式。

平面向量还把余弦定理写成 $| 𝐮 - 𝐯 |^{2} = | 𝐮 |^{2} + | 𝐯 |^{2} - 2 𝐮 \cdot 𝐯$ ；若已知三边求面积，再看海伦公式。这些链接分别回答“边与角”和“边与面积”，不必在一道题里强用所有工具。

参考资料

OpenStax，Calculus Volume 3，§2.1：向量合成与位移。
OpenStax，同书 §2.3：数量积、投影与功。
继续阅读：平面向量基本定理与坐标表示、正弦定理、余弦定理。