罗尔定理

罗尔定理（Rolle’s theorem）规定：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续、在 $(a,b)$ 可导，而且 $f(a)=f(b)$，那么至少有一个 $c\in (a,b)$ 使 $f^{\prime }(c)=0$。两端高度相同，曲线若在中途鼓起或凹下，就会出现水平切线；若完全平坦，每个内部点都满足结论。

用极值定理完成证明

闭区间连续函数在该区间能取到最大值和最小值。如果两者都等于共同端点值，函数是常数，结论立即成立。否则最大值或最小值中至少有一个不同于端点值，只能在内部某点 $c$ 取得。函数在这个内部极值点可导：当 $c$ 为最大值时，右侧差商不大于零，左侧差商不小于零；两侧若趋向同一个导数，那个数只能为零。最小值同理。这一步叫费马驻点定理，连同闭区间极值定理给出罗尔定理。

取 $f(x)=x(2-x)$、区间 $[0,2]$。两端函数值都是 0，$f^{\prime }(x)=2-2x$，所以 $c=1$。曲线顶点 $(1,1)$ 正处在中间。若把函数换成 $|x-1|$，端点值仍相等，谷底却不可导；区间内部找不到导数为零的点。可导条件正是排除这种尖点。

闭区间连续也不能省去。令 $f(x)=x$（$0\le x<1$）、$f(1)=0$，则 $f(0)=f(1)$ 且内部导数始终为 1；在右端的跳跃使极值论证失效。罗尔定理是拉格朗日中值定理的直接起点：从函数中减去端点连线，使新的两个端点等高即可。

端点同为零，曲线在内部最高处取得水平切线；定理不要求最高点一定落在区间中点。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 1》§4.4：罗尔定理与中值定理。
• 同书 §4.3：闭区间极值与驻点。