柯西收敛准则

柯西收敛准则（Cauchy convergence criterion）给出一种不必先猜出极限的收敛检验：实数列收敛，当且仅当足够靠后的任意两项都能彼此任意接近。它检验的是尾部内部的距离，而数列的极限定义检验的是尾部到某个已指定实数的距离。

令 $s_n=1/2+1/4+\cdots +2^{-n}=1-2^{-n}$。即使先不使用等式右侧的极限值，也可比较任意两个较晚的部分和。若 $m>n$， $$0<s_m-s_n=2^{-n}-2^{-m}<2^{-n}.$$ 把 $n$ 取得足够大，后面任何 $s_m$ 与它都很接近；这正是柯西条件。

尾部两两接近的定义

实数列 $(x_n)$ 称为柯西列，如果 $$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\mathrm{\forall }m,n\ge N,|x_m-x_n|<\epsilon .$$ 量词次序有意义：先给出允许的距离 $\epsilon$，再选一个起点 $N$；从那里起每一对指标都要满足要求。只比较相邻两项不够。例如调和部分和 $H_n=1+1/2+\cdots +1/n$ 的相邻差 $H_{n+1}-H_n=1/(n+1)\to 0$，但整个数列不是柯西列。

事实上，对任何正整数 $n$， $$H_{2n}-H_n=\sum _{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\ge n\cdot \frac{1}{2n}=\frac{1}{2}.$$ 无论尾部从哪里开始，都能选 $n$ 足够大，再选 $m=2n$，得到两项至少相差 $1/2$。取 $\epsilon =1/4$ 就直接否定柯西条件。这也说明无穷级数不能只看加上的单项是否趋零。

柯西条件控制尾部任意两项，连续两个点靠近远远不够。

收敛必然满足柯西条件

若 $x_n\to L$，给定 $\epsilon >0$，按极限定义取 $N$，使所有 $n\ge N$ 满足 $|x_n-L|<\epsilon /2$。对于任意 $m,n\ge N$，三角不等式给出 $$|x_m-x_n|\le |x_m-L|+|x_n-L|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$ 这部分证明在任何有距离概念的空间里都成立，并不依赖实数的特殊完备性。

柯西条件在实数中也保证收敛

反方向先要找到一个候选极限。柯西条件取 $\epsilon =1$，得某个 $N$，使 $n\ge N$ 时 $|x_n-x_N|<1$。尾部有界，前面只有有限项也有界，因此整列有界。由博尔扎诺—魏尔斯特拉斯定理，存在一条收敛子列 $x_{n_k}\to L$。

给定 $\epsilon >0$，由柯西性选择 $N_1$，使尾部任意两项距离小于 $\epsilon /2$；再选足够靠后的子列项 $x_{n_k}$，使 $n_k\ge N_1$ 且 $|x_{n_k}-L|<\epsilon /2$。于是对每个 $n\ge N_1$， $$|x_n-L|\le |x_n-x_{n_k}|+|x_{n_k}-L|<\epsilon .$$ 这就把子列的极限推广到了整个数列。证明并未把“柯西所以有极限”当作前提：候选极限由有界子列定理提供，余下尾部由柯西条件拉向它。

为什么要说“在实数中”

同一个判据若只允许极限留在有理数内，就不成立。用有理数截断 $\sqrt{2}$ 的小数展开，得到 $1,1.4,1.41,1.414,\dots$。这是有理数列，在通常距离下为柯西列；它在实数中趋于 $\sqrt{2}$，却没有有理数极限。缺少的不是更聪明的求和办法，而是该数域的完备性。

对级数 $\sum a_k$，应用柯西准则的对象是部分和 $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$，因此收敛条件可写成：对任意 $\epsilon >0$，存在 $N$，使所有 $m>n\ge N$ 都有 $|a_{n+1}+\cdots +a_m|<\epsilon$。它要求任意一段足够靠后的尾和都小，而非仅要求单项 $a_n\to 0$。

参考资料

• ProofWiki，Cauchy's Convergence Criterion / Real Numbers：实数列的双向命题。
• MIT OpenCourseWare，18.100B，Lecture 07：柯西列、子列与级数。
• 继续阅读：数列的极限、博尔扎诺—魏尔斯特拉斯定理、无穷级数。