子集与真子集

给定两个集合 $A,B$，若 $A$ 的每个元素也在 $B$ 中，就称 $A$ 是 $B$ 的子集，写作 $A\subseteq B$。定义只谈元素是否包含，不要求两个集合有相同数量的元素，也不要求元素按某种顺序出现。

取 $A=\{1,2\}$、$B=\{1,2,3\}$。因为 1、2 都在 $B$ 中，有 $A\subseteq B$；但 3 在 $B$ 中而不在 $A$ 中，故 $B⊈A$。当 $A\subseteq B$ 且 $A\ne B$ 时，称 $A$ 为真子集，记作 $A⊊B$。

图中小椭圆 $A$ 完全位于 $B$ 内，元素 3 则说明 $B$ 还多出一块；最外框 $U$ 是本图选定的全集，4 属于 $U$ 却不属于 $B$。

用包含区域表示A真包含于B；元素3证明反向包含不成立。

逐个元素证明包含关系

要证明 $A\subseteq B$，任取 $x\in A$，根据 $A$ 的条件推出 $x\in B$。例如令 $A=\{n\in \mathbb{Z}:4\mid n\}$、$B=\{n\in \mathbb{Z}:2\mid n\}$。任取 $n\in A$，有 $n=4k=2(2k)$，所以 $n\in B$。反向不成立，因为 6 是偶数却不是 4 的倍数。

证明集合相等通常分两步：$A\subseteq B$ 且 $B\subseteq A$。由两边的条件可知任意元素属于 $A$ 当且仅当属于 $B$；这是比只画一张包含图更可靠的证明。例如 $\{x\in ℝ:x^2=1\}=\{-1,1\}$，需要既证明两个候选满足方程，也证明没有第三个解。

元素与子集的区别

对 $C=\{1,\{1\}\}$，有 $1\in C$，也有 $\{1\}\in C$；同时 $\{1\}\subseteq C$，因为其唯一元素 1 属于 $C$。$\in$ 比较元素和集合，$\subseteq$ 比较两个集合；不能把符号互换。空集是每个集合的子集，任何集合也都是自己的子集，但都不是自己的真子集。

参考资料

• MIT，Mathematics for Computer Science，集合章节。
• OpenStax《Contemporary Mathematics》1.2：子集与幂集。
• 继续阅读：集合、空集、幂集。