外接圆与外心

过三角形三个顶点的圆叫外接圆；它的圆心 $O$ 是三边垂直平分线的交点，称外心。垂直平分线上的点到线段两端距离相等：把点到两端的两个直角三角形并排比较，公共垂距和相等的半边长给出相等斜边。

三边垂直平分线为何共点

取边 $AB$ 与 $AC$ 的垂直平分线交点 $O$。由第一条得 $OA=OB$，由第二条得 $OA=OC$，所以 $OB=OC$；$O$ 自动落在 $BC$ 的垂直平分线上。以共同距离 $R=OA=OB=OC$ 为半径画圆，三顶点都在圆上。这既证明了圆的存在，也指出圆心的位置如何构造。

直角三角形的外心是斜边中点。例如边长为 3、4、5 的直角三角形，斜边中点到三个顶点均为 $5/2$，所以 $R=2.5$。锐角三角形的外心在内部，钝角三角形的外心在外部；把“中心”理解成永远位于图形内部会在钝角例子里出错。

图中两条虚线分别是直角边 $AB$、$BC$ 的垂直平分线，交点恰好落在斜边 $AC$ 的中点。以此点为圆心的圆穿过三顶点；这与上一页内切圆的“到三边等距”是两种不同构造。

直角三角形外心位于斜边中点，圆心到顶点而非到边等距。

正弦定理中的常数 $2R$ 正是外接圆直径。知道一条边及其对角，就能用 $R=a/(2\sin A)$ 算半径，但这要求三角形非退化、$\sin A>0$。

参考资料

• 《几何原本》IV.5：作三角形外接圆。
• NDSU《Axiomatic Geometry》几何讲义。
• 继续阅读：正弦定理、内切圆与内心、圆周角定理。