三角形重心

三角形的中线连接一个顶点与对边中点；三条中线交于一点 $G$，称为重心。它位于每条中线上，且从顶点到重心的距离是整条中线的 $2/3$。这里的“重心”可理解为均匀薄三角板的平衡点，但几何结论不需要实际称重才能证明。

用坐标证明三线共点

把顶点的位置向量记为 $𝐚,𝐛,𝐜$。边 $BC$ 的中点为 $𝐦=(𝐛+𝐜)/2$。从 $A$ 沿中线走全程的 $2/3$，到达 $$𝐚+\frac{2}{3}(𝐦-𝐚)=\frac{𝐚+𝐛+𝐜}{3}.$$ 表达式对三个顶点对称，所以从 $B$ 或 $C$ 的中线也得到同一点。三线共点及 $2:1$ 分点比都从计算中出现，而不是另作一个假设。

例如 $A=(0,0),B=(6,0),C=(0,3)$，重心为 $G=((0+6+0)/3,(0+0+3)/3)=(2,1)$。边 $BC$ 的中点为 $(3,1.5)$；从 $A$ 到该中点走 $2/3$，恰得 $(2,1)$。

图中三条中线均经过 $G$；金色 $AM$ 单独突出 $AG:GM=2:1$。其余两条虚线分别从 $B$、$C$ 连向 $AC$、$AB$ 的中点；每条中线都必须连向对边中点，这一点由上面的向量计算保证。

三条中线交于同一点，AG与GM之比为二比一。

重心到顶点通常不等距，到边也通常不等距，因此不要与外心或内心混用。若三角板密度不均匀，物理质心也可能偏离几何重心；均匀这一模型假设不可省。

参考资料

• OpenStax，Contemporary Mathematics，三角形基础。
• NDSU《Axiomatic Geometry》几何讲义。
• 继续阅读：三角形的面积公式、向量空间、外接圆与外心。