一致收敛与连续性

一列连续函数可以逐点趋向不连续函数，$f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上就是例子：极限在 $x<1$ 为 0，在 $x=1$ 为 1。一致收敛正是排除这种“越来越陡的边界层”的条件。

连续函数的一致极限仍连续

设每个 $f_n:E\to ℝ$ 都在 $x_0\in E$ 连续，且 $f_n\to f$ 在 $E$ 上一致。给定 $\epsilon >0$，先选同一个 $N$，使 $|f_N(x)-f(x)|<\epsilon /3$ 对全部 $x\in E$ 成立。再由 $f_N$ 在 $x_0$ 连续，选 $\delta >0$ 使 $|x-x_0|<\delta$ 时 $|f_N(x)-f_N(x_0)|<\epsilon /3$。把两端误差夹在中间： $$|f(x)-f(x_0)|\le |f(x)-f_N(x)|+|f_N(x)-f_N(x_0)|+|f_N(x_0)-f(x_0)|<\epsilon .$$ 所以 $f$ 在 $x_0$ 连续。证明中的顺序很重要：先从一致收敛选 $N$，再对这个固定函数的连续性选 $\delta$；逐点收敛的 $N$ 会随着 $x$ 改变，无法如此操作。

定理的边界

结论只保证连续，不自动保证可导或导数可交换极限。以 $f_n(x)=\sqrt{x^2+1/n}$ 为例，每个 $f_n$ 在实数轴上可导，且 $|f_n(x)-|x||\le 1/\sqrt{n}$，故一致收敛到 $|x|$；然而极限在 0 不可导。讨论导数极限时必须另加条件。

参考资料

• MIT 18.100B Real Analysis，一致收敛讲义。
• MIT 18.100A Fall 2020，实分析讲义。
• 继续阅读：函数列的一致收敛、函数的连续性、可导与连续。