傅里叶级数

傅里叶级数用正弦、余弦分量描述周期函数。对周期 $2\pi$ 且足够可积的实函数 $f$，写作 $$\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx),$$ 其中 $a_n={\pi }^{-1}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$，$b_n={\pi }^{-1}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$，$a_0={\pi }^{-1}{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$。

系数从正交性得到

在 $[-\pi ,\pi ]$ 上，不同频率的正弦与余弦的乘积积分为 0，同频非零项的平方积分为 $\pi$。假设先用有限和 $S_N$ 近似 $f$，两侧乘 $\cos mx$ 并积分，所有其他频率项消失，留下 $\int f(x)\cos mxdx=\pi a_m$。这解释公式的来源；对无限和直接交换积分仍需另证收敛条件。

以 $f(x)=x$（定义在 $-\pi <x<\pi$，再作周期延拓）为例，奇偶性给 $a_n=0$。分部积分算得 $b_n=2(-1{)}^{n+1}/n$，所以在连续点 $$x=2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin (nx),-\pi <x<\pi .$$ 在跳点 $x=\pi$，周期延拓左右极限是 $\pi$ 与 $-\pi$；在通常的分段光滑条件下，级数收敛到两侧平均值 0，而不是收敛到任意人为指定的端点函数值。

收敛方式

“可积”足以定义系数，却不保证级数在每一点都等于原函数。要说明逐点、均方或一致收敛，需分别附加条件；例如连续且分段光滑可给出良好的逐点行为。傅里叶分析的力量来自把函数分解成频率，而严谨使用时要同时说清收敛意义。

参考资料

• MIT 18.03SC，Operations on Fourier Series 与收敛讲义。
• MIT 18.330，傅里叶分析讲义。
• 继续阅读：三角恒等式、函数项级数、波动方程。