条件概率

条件概率把样本空间缩到已经发生的事件 $B$ 内。只在 $P(B)>0$ 时定义 $$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.$$ 例如掷一枚公平六面骰，已知结果是偶数，结果又大于 3 的概率是 $2/3$：偶数只有 $\{2,4,6\}$，其中满足“大于 3”的是 $\{4,6\}$。分母应是条件事件的概率，不是原样本空间的大小。

图中青色轮廓先把样本空间缩为偶数事件 $B=\{2,4,6\}$，金色框再标出同时大于 3 的 $A\cap B=\{4,6\}$。条件概率在三个被保留的等可能结果里数出两个，而不是从六个结果里数两个。

已知偶数后只在二四六三个结果内计算大于三的机会，为三分之二。

乘法公式

把定义改写得 $P(A\cap B)=P(B)P(A\mid B)$。也可交换次序写成 $P(A)P(B\mid A)$，前提是相应条件事件概率非零。这说明计算“先抽到红球再抽到蓝球”时，第二步要使用第一步发生后的样本空间。

以袋中 3 红、2 蓝共 5 球、不放回抽两球为例：先红的概率 $3/5$；已经拿走一红后，第二球蓝的条件概率 $2/4$，所以“先红后蓝”的概率是 $(3/5)(2/4)=3/10$。若误用 $2/5$，便忽略了条件更新。

条件不等于因果

$P(A\mid B)>P(A)$ 只说明观察到 $B$ 后，对 $A$ 的概率判断改变，不说明 $B$ 导致 $A$。另外 $P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 一般不同；贝叶斯定理将二者按先验概率联系起来。对概率为 0 的条件事件，上面的简单分式不适用，需要更精细的条件分布定义。

参考资料

• MIT 18.05，Conditional Probability 讲义。
• MIT 6.041，概率论讲义。
• 继续阅读：全概率公式、贝叶斯定理、事件独立性。