等距圆周点判定圆心

在一个圆内取点 $P$。若至少三个不同的圆周点到 $P$ 距离相等，那么 $P$ 就是圆心；这是《几何原本》第三卷命题 9。“三个”不能减为“两个”，因为偏心点两侧常有成对等距点。

三个点确定垂直平分线的交点

设等距点为 $A,B,C$，则 $PA=PB=PC$。圆周上三个不同点不共线：一条直线与圆最多有两个交点。$PA=PB$ 使 $P$ 在 $AB$ 的垂直平分线上，$PB=PC$ 使它在 $BC$ 的垂直平分线上。两线的唯一交点是经过 $A,B,C$ 的圆的圆心，故 $P=O$。

只取两点 $A,B$，垂直平分线上的每一点都满足 $PA=PB$，无法从中辨认圆心。圆内点到圆周的距离更具体地给出：非圆心的圆内点对每个非极端距离恰有两个等距圆周点。

参考资料

• 《几何原本》III.9：多于两个等距圆周点判定圆心。
• 继续阅读：圆心的尺规确定、两圆交点的个数。
• 推导关联：《几何原本》III.1：求圆心的作图。