两圆交点的个数

两个不重合的圆最多有两个交点。若两个圆完全重合，共同点有无穷多个，必须从命题中排除。这是《几何原本》第三卷命题 10 在现代措辞中的条件。

两个圆方程相减

取不同圆心 $O_{1} = (0, 0)$ 、 $O_{2} = (d, 0)$ ，其中 $d > 0$ ，半径为 $R, r$ 。共同点 $(x, y)$ 同时满足 $x^{2} + y^{2} = R^{2}, (x - d)^{2} + y^{2} = r^{2} .$ 两式相减， $x^{2} + y^{2}$ 消掉，得到 $x = \frac{R^{2} - r^{2} + d^{2}}{2 d} .$ 因此共同点只可能在一条竖线上。将这个 $x$ 代回第一个圆方程， $y^{2}$ 大于、等于或小于零，分别得到两个、一个或零个交点。一点的情形是相切。若圆心相同而半径不同，则根本没有共同点；若圆心和半径都相同，两圆重合。

从图形也可读出： $| R - r | < d < R + r$ 时相交两点； $d = R + r$ 为外切； $d = | R - r | > 0$ 为内切。等号是否包括 $d = 0$ 要看是否已排除两圆重合。

参考资料