两圆交点的个数

两个不重合的圆最多有两个交点。若两个圆完全重合，共同点有无穷多个，必须从命题中排除。这是《几何原本》第三卷命题 10 在现代措辞中的条件。

两个圆方程相减

取不同圆心 $O_1=(0,0)$、$O_2=(d,0)$，其中 $d>0$，半径为 $R,r$。共同点 $(x,y)$ 同时满足 $$x^2+y^2=R^2,(x-d{)}^2+y^2=r^2.$$ 两式相减，$x^2+y^2$ 消掉，得到 $$x=\frac{R^2-r^2+d^2}{2d}.$$ 因此共同点只可能在一条竖线上。将这个 $x$ 代回第一个圆方程，$y^2$ 大于、等于或小于零，分别得到两个、一个或零个交点。一点的情形是相切。若圆心相同而半径不同，则根本没有共同点；若圆心和半径都相同，两圆重合。

从图形也可读出：$|R-r|<d<R+r$ 时相交两点；$d=R+r$ 为外切；$d=|R-r|>0$ 为内切。等号是否包括 $d=0$ 要看是否已排除两圆重合。

参考资料

• 《几何原本》III.10：两圆至多相交于两点。
• 继续阅读：两圆相切的连心线、两圆切点的唯一性。
• 推导关联：《几何原本》III.13：切点的唯一性。