圆内接四边形的对角

四个顶点 $A,B,C,D$ 依次位于同一圆周上，称为圆内接四边形。它的两组对角各互补： $$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }C=180^{\circ },\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }D=180^{\circ }.$$ 这是《几何原本》第三卷命题 22，不要求四边形是矩形或等腰梯形。

两段对弧拼成整圆

由圆周角定理，$\mathrm{\angle }A$ 等于不含 $A$ 的弧 $BCD$ 所对应中心角的一半；$\mathrm{\angle }C$ 等于另一段弧 $DAB$ 的一半。两段弧合起来恰好是整圆 $360^{\circ }$，所以 $$\mathrm{\angle }A+\mathrm{\angle }C=\frac{\widehat{BCD}+\widehat{DAB}}{2}=\frac{360^{\circ }}{2}=180^{\circ }.$$ 交换字母即可得到 $\mathrm{\angle }B+\mathrm{\angle }D=180^{\circ }$。关键是选不含角顶点的弧；若给两角都套同一段小弧，证明便会出错。

图中的金色弧和绿色弧分别由两个对角看到，它们完整拼成圆周。若一个角为 $112^{\circ }$，对角必为 $68^{\circ }$。

两段被对角截取的弧合为整圆，因此对角和为一百八十度。

反过来的判别

在凸四边形中，若一对对角互补，它也可以内接于某个圆。作过 $A,B,C$ 的圆，在 $D$ 所在的 $AC$ 一侧取该圆弧上一点 $E$。已证结论给 $\mathrm{\angle }AEC=180^{\circ }-\mathrm{\angle }ABC=\mathrm{\angle }ADC$。圆 $ACD$ 与圆 $ACE$ 在同一条弦 $AC$ 的同侧容纳相等的圆周角；由圆弧段的唯一性与全等，这两段弧是同一段，故 $D$ 也在原圆上。凸性保证 $B,D$ 位于对角线 $AC$ 两侧，不能省略这个位置条件。

参考资料

• 《几何原本》III.22：圆内接四边形对角互补。
• 继续阅读：半圆所对的圆周角、圆周角定理。
• 推导关联：《几何原本》III.20：圆心角与圆周角。