已知圆上截取指定圆周角

上一题固定弦而寻找圆；现在圆已经给定，要截下一段圆弧，使弧上所成的圆周角等于给定 $0<\phi <180^{\circ }$。这是《几何原本》第三卷命题 34。

让弦切角替我们定位第二端点

先在已知圆上取点 $B$，作它的切线 $t$。从 $B$ 向圆内画射线 $BC$，选择切线的一条射线，使它与 $BC$ 的夹角等于 $\phi$；$BC$ 与圆的另一个交点记为 $C$。取与所用弦切角相对的圆弧段，弧上任一点 $A$ 都满足 $$\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }(t,BC)=\phi .$$ 等式正是切线与弦定理。先画切线而非盲目试弦，是因为给定角在切点可以准确复制；另一个交点随后由圆自动确定。

若 $\phi =90^{\circ }$，所作弦 $BC$ 是直径，所得是半圆；小于直角或大于直角时，要留心角顶点所在的大小弧段，不能把圆周角与它的补角混淆。比如取 $60^{\circ }$，相对弦切角的一段弧上任取顶点，所见弦 $BC$ 的角都是 60 度。

参考资料

• 《几何原本》III.34：从给定圆截取指定圆周角的圆弧段。
• 继续阅读：给定弦与圆周角作圆弧、半圆所对的圆周角。
• 推导关联：《几何原本》III.32：弦切角。