稳健平均数

稳健位置统计量（robust location statistic）用于描述一组数据的典型位置，同时避免少数极端观测使结果大幅偏移。常用的中位数、截尾均值和缩尾均值，对极端值的处理各不相同；选用时应先问数据从何而来、尾部的大值是否是需要保留的信息。

极端收入对均值与中位数的影响

设五个合成的月收入观测为 3,000、3,200、3,500、3,700、90,000 元。算术均值是 $103400/5=20680$ 元，排序后的中位数是第三个数 3,500 元。若最后一人的收入改为 100,000 元，均值立即增加 2,000 元，而中位数保持 3,500 元。中位数没有说那笔高收入不存在；它回答的是五人按大小排序的中间位置。

极端值把均值拉离大多数观测；横轴做断轴标记，避免压缩低收入之间的差异。

截尾与缩尾各做了什么

按从小到大排列后，20% 截尾均值在这个五人例子里删去最小和最大各一个，保留 3,200、3,500、3,700，再求得 $${\overline{x}}_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{m}}=\frac{3200+3500+3700}{3}=3466.\bar{6}\text{元}.$$ 20% 缩尾均值则不删除位置，而是把最小值 3,000 替换为保留区间左端的 3,200，把最大值 90,000 替换为右端的 3,700，再对五个数求均值： $${\overline{x}}_{\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\frac{3200+3200+3500+3700+3700}{5}=3460\text{元}.$$ 两者在此例接近，却是不同的操作。截尾改变样本中的参与项数，缩尾保留项数但修改用于平均的边端数值。实际报告必须同时给出截尾比例和边界/舍入规则；样本很小时，“截去 10%”可能连一个观测也不对应。

中位数的优化性质

中位数为何不易被一笔极端值拖走？先看三个排好序的数 $a\le b\le c$。对任意 $m\in [a,c]$，把 $m$ 从 $a$ 移到 $b$，到 $a$ 的距离增加 $b-a$，到 $b,c$ 的距离合计至少减少同样多。因此 $b$ 使绝对偏差和 $$S(m)=|a-m|+|b-m|+|c-m|$$ 最小。对任意奇数个有序观测同理：把位置向中间推时，左、右两侧的距离变化相互抵消，越过中位点后方向倒转。算术均值则使平方偏差和最小；平方会更重地惩罚远端偏差。这是二者受极端值影响不同的一条数学原因。

稳健不等于“越不看大值越好”。研究总收入、税基或风险损失时，90,000 元可能正是关键信息，应同时报告总额、分布和尾部；若它是录入错误，应核查源记录，而不是靠截尾公式默默删除。还应结合直方图或箱线图展示数据形状。

参考与延伸

• 美国国家标准与技术研究院，位置统计量；Trimmed Mean。
• 样本均值；箱线图；洛伦兹曲线与基尼系数。