数学命题

数学命题是在已固定解释和对象范围后，具有确定真值的陈述；“有确定真值”不表示人们已经知道它是真还是假。“$5$ 是素数”是真命题；“$6$ 是素数”是假命题。若约定 $x$ 取整数，“$x$ 是素数”在没有指定 $x$ 时只是一个含自由变量的谓词，还不是一个已确定真值的命题。

先写清对象，再谈真假

设 $P(n)$ 为“$n$ 是偶数”。把 $n$ 指定为 8，得到真命题；指定为 7，得到假命题。也可以加量词：$\mathrm{\forall }n\in \mathbb{Z}P(n)$ 断言所有整数都为偶数，被 7 推翻；$\mathrm{\exists }n\in \mathbb{Z}P(n)$ 断言存在偶数，由 8 证实。一个例子足以证明存在陈述，却只能推翻全称陈述；证明全称陈述须给出覆盖任意对象的论证。

量词的先后决定依赖关系。对实数，“每个 $a$ 都有比它大的 $b$”为真：给定任意 $a$，取 $b=a+1$。它写作 $\mathrm{\forall }a\in ℝ\mathrm{\exists }b\in ℝ(b>a)$。反过来，“存在一个 $b$ 比所有实数 $a$ 大”为假；给出任何候选 $b$，令 $a=b+1$ 就推翻它。这两句话只交换了两个量词，意义却不同。

把否定写成可以检查的对象

要否定“每个实数 $a$ 都有更大的实数 $b$”，需找一个特定 $a$，使所有 $b$ 都不大于它： $$\mathrm{\neg }(\mathrm{\forall }a\mathrm{\exists }b(b>a))⟺\mathrm{\exists }a\mathrm{\forall }b(b\le a).$$ 右边在实数中是假，但其形式才是原句的准确否定。“不是每个 $a$ 都有更大的 $b$”不能简化成“每个 $a$ 都没有更大的 $b$”，后者更强。反证法开始之前尤其要先把这种否定写准。

条件句的证明责任

“若整数 $n$ 能被 4 整除，则 $n$ 为偶数”可以记作 $4\mid n\Rightarrow 2\mid n$。它要求我们从 $n=4k$ 推出 $n=2(2k)$；并不要求每个偶数都能被 4 整除。把结论与前提交换得到逆命题，被 $n=6$ 推翻。要证明“当且仅当”，则正、反两个方向都要有证明。

这里说的“真”针对清楚的定义域与逻辑解释。自然语言句子如“这个图形很大”没有尺度与比较对象，不能直接按上述办法判真假。逻辑提供连接词与真值表，数学概念与定义帮助先固定“图形”“素数”“偶数”等术语的意思。

参考资料

• MIT《Introduction to Proofs》，命题与否定。
• Open Logic Project《forall x: Calgary》，谓词、量词与推导。