直接证明与逆否证明

直接证明从已知前提出发，一步步推出结论；逆否证明在目标是 $P \Rightarrow Q$ 时，改证等价的 $\neg Q \Rightarrow \neg P$ 。选哪条路取决于条件怎样展开更自然，不能把“结论显然”当作中间步骤。

直接走到结论

证明“两个奇整数之和是偶数”。任取奇整数 $a, b$ ；按奇偶定义，存在整数 $u, v$ ，使 $a = 2 u + 1, b = 2 v + 1$ 。相加得到 $a + b = 2 u + 1 + 2 v + 1 = 2 (u + v + 1) .$ 括号内仍是整数，因此 $a + b$ 符合偶数的定义。证明从任取开始，故没有只说明某两个数。若目标是“任意两个奇整数的积仍为奇数”，同样代入并展开可得 $a b = 2 (2 u v + u + v) + 1$ ；读者可以用这一式重新核对奇数的定义。

直接证明也可分类讨论。要证每个整数 $n$ 的 $n (n + 1)$ 都是偶数，按奇偶性分尽两类：若 $n$ 偶，则积有偶因子 $n$ ；若 $n$ 奇， $n + 1$ 偶，积仍有偶因子。没有第三类整数，所以两个分支合起来覆盖全体。这和仅检查 $n = 1, 2$ 不同，分支由奇偶定义保证穷尽。

逆否更容易展开的命题

要证“若 $4 ∣ n^{2}$ ，则 $n$ 为偶数”。直接从平方的 4 倍式求出 $n$ 的奇偶并不直观；逆否命题是“若 $n$ 为奇数，则 $4 ∤ n^{2}$ ”。任取奇整数 $n = 2 k + 1$ ，平方： $n^{2} = (2 k + 1)^{2} = 4 k (k + 1) + 1.$ 它除以 4 的余数为 1，因而不是 4 的倍数。逆否命题成立，原命题随之成立。这里“ $4 ∤ n^{2}$ ”是“ $4 ∣ n^{2}$ ”的否定；若错把逆否写成“ $n$ 偶数则 $4 ∣ n^{2}$ ”，那只是另一个方向的陈述，虽然本例也真，却不构成逆否证明。

逆否为何与原句等价

$P \Rightarrow Q$ 唯一失败的情况是 $P$ 真而 $Q$ 假。此时 $\neg Q$ 真而 $\neg P$ 假，恰是 $\neg Q \Rightarrow \neg P$ 唯一失败的情况；其他三种真假组合两者都成立。因此两个条件句在每种赋值下同真同假。逻辑的真值表提供逐格检查。

逆否证明不同于反证法。前者从 $\neg Q$ 出发直接推到 $\neg P$ ；反证法则暂时同时接受前提与结论的否定，再找一对冲突。两者在经典逻辑中都可证明原命题，但写作时应把每一步真正使用的条件交代出来。

参考资料