反例与命题的边界

反例是满足一个全称命题的前提、却不满足其结论的具体对象。它说明原命题在所声明的范围内为假。反例不是随便找一件与话题相近的事；对象、定义域和条件必须逐项对上。

一处尖点就足以推翻全称句

猜想“每个连续函数在每一点都可导”。取 $f (x) = | x |$ ，定义在全体实数上。它在 $x = 0$ 连续，因为 $| | x | - | 0 | | = | x | \to 0$ 。但用导数定义计算差商： $\frac{f (h) - f (0)}{h} = \frac{| h |}{h} = {\begin{matrix} 1, & h > 0, \\ - 1, & h < 0. \end{matrix}$ 右侧趋近给 1，左侧趋近给 $- 1$ ，两侧不相等，所以 $f^{'} (0)$ 不存在。该函数已满足“连续”的前提，偏偏不满足“处处可导”的结论，正好构成反例。

函数y等于绝对值x的V形图像在原点形成尖点，左侧斜率负一，右侧斜率正一 — 图上的尖点提示两侧方向不同；导数不存在仍需由左右差商计算确认。

检查反例是否真的符合前提

另一句猜想是“所有有界数列都收敛”。取 $a_{n} = (- 1)^{n}$ 。每项都在 $[- 1, 1]$ 中，满足有界；偶数下标子列恒为 1，奇数下标子列恒为 $- 1$ 。若原数列有极限，两条子列必须收敛到同一值，然而它们分别收敛到 1 和 $- 1$ ，故原数列不收敛。

反过来，如果原命题说“有界且单调的实数列收敛”，上面的交替数列就不再符合前提，不能用它反驳。加上单调条件后可由实数的上确界原理证明结论。反例由此帮助定位缺少了哪条条件，而不只是给一个“错”的标签。

反例与证明的不同方向

证明全称命题 $\forall x \in D P (x)$ 要覆盖 $D$ 中每个对象；找反例只需给出 $a \in D$ 且 $\neg P (a)$ 。证明存在命题 $\exists x \in D P (x)$ 则只需提供一个见证；要推翻它，反而要说明所有 $x \in D$ 都不满足 $P (x)$ 。这组对称关系来自数学命题中的量词否定。

试着检验“任意实数 $x$ 都有 $x^{2} \geq x$ ”。取 $x = 1 / 2$ ，左边 $1 / 4$ 小于右边 $1 / 2$ ，所以猜想失败。若限定到整数， $x (x - 1) \geq 0$ 对所有整数成立： $x \leq 0$ 时两个因子均非正， $x \geq 1$ 时两因子均非负。改变论域以后，原来的实数反例不再适用，而新的命题有了完整证明。

参考资料