函数的表示法

函数的表示法包括解析式、数表、图像和文字规则。它们回答的是同一件事：给定一个允许的输入，怎样确定唯一输出。选哪一种形式，取决于已知信息与问题要求；一张表能忠实记录有限次观测，却不自动给出表外所有输入的值。

用同一组数据连接三种表示

设一个匀速注水的水槽，开始时有 4 升水，以每分钟 3 升的速度注水，持续 5 分钟；忽略漏水与容器上限。令 $t$ 为注水后的分钟数、$V$ 为水量的升数，则 $0\le t\le 5$，且 $$V(t)=4+3t.$$ 这条解析式说明初始量与每分钟增加量。选取三个时刻，得到数表：

$t$（分钟）	0	2	5
$V(t)$（升）	4	10	19

图像则把点 $(0,4)$、$(2,10)$、$(5,19)$ 放进“时间—水量”坐标系。因为本题的匀速假设对区间中每一时刻都成立，才可以用一段直线连接这些点；若表格只是三次离散测量，就不能单凭它断言中间值一定落在直线上。

相同数值表未必确定相同函数

假如只知道上表三个时刻的数据，$V(t)=4+3t$ 与 $$W(t)=4+3t+t(t-2)(t-5)$$ 在 $t=0,2,5$ 都给出相同值；但在 $t=1$，前者给出 7，后者给出 $7+1(-1)(-4)=11$。数表提供约束，匀速注水这一额外条件才让直线模型有理由。即使更多观测近似共线，是否可用于预测也要检查测量误差和物理条件。

同一个公式也可能因定义域不同而代表不同问题。$4+3t$ 在代数上可接受任何实数 $t$，本题的注水时间却只取 $[0,5]$；把 $t=10$ 代入会超出声明的过程。函数进一步区分定义域、陪域和值域。

分段规则也只有一个输出

若前两分钟每分钟注入 3 升，随后关闭进水口，至第 5 分钟水量不变，则 $$V(t)=\{\begin{array}{cc}4+3t,& 0\le t\le 2,\\ 10,& 2<t\le 5.\end{array}$$ 在连接处 $t=2$，第一段给出 10；第二段从大于 2 的时刻开始，所以没有“同一输入两个输出”的冲突。图像先上升后水平，表格仍能列出具体值，文字规则则解释变化原因。试算 $V(1)=7$、$V(4)=10$，并检查两点在各自的图段上。

参考资料

• OpenStax，《Precalculus 2e》，§1.1：函数记号与多种表示。本站注水案例独立编写。
• 继续阅读：函数、分段函数、函数的单调性与最值。