分段函数

分段函数（piecewise-defined function）把定义域分成若干部分，在不同部分使用不同的计算规则。它仍然是一个函数：每个允许的输入必须对应唯一输出。公式写成几行，是为了说明何时选哪条规则，而不是让人把所有行都代入后相加。

水龙头调小以后，水箱原有的水去哪了

沿用斜率与平均变化率的水箱：开始有6升水，前三分钟以4升/分注入，然后调为2升/分，再过四分钟关闭。假设水箱足够大、没有漏水和蒸发，停水后水量保持不变。用 $t\ge 0$ 表示从开始经过的分钟数，$V(t)$ 表示升数。所有数值都是这个合成工序的设定。

前三分钟增加 $4\times 3=12$ 升，所以切换时已有 $6+12=18$ 升。后四分钟再增加 $2\times 4=8$ 升，因此关闭时有26升。三个阶段的时间范围与起始水量如下：

阶段	从开始计时的范围	该阶段开始时的水量	计算方式
第一段	$0\le t\le 3$	6升	6加上4乘经过分钟数
第二段	$3<t\le 7$	18升	18加上2乘切换后经过的分钟数
第三段	$t>7$	26升	水量保持26升

每一时刻归入一段。实心端点表示包含，空心端点表示不包含；第三段的箭头表示继续到更晚的时间。

看第二行：第5分钟并不是调小后经过5分钟，而是经过 $5-3=2$ 分钟。于是水量为 $18+2\times 2=22$ 升。减去3是在重置这一段的计时起点，原有18升则负责接上前一段的累计量。

把文字规则写成一个函数

由每一段的起始量加上本段新增量，得到 $$V(t)=\{\begin{array}{cc}6+4t,& 0\le t\le 3,\\ 18+2(t-3),& 3<t\le 7,\\ 26,& t>7.\end{array}$$ 大括号把三种情况合成一个函数。右边的条件先决定使用哪一行，左边的式子再负责计算。OpenStax《College Algebra 2e》§3.2

例如 $V(2)=6+4\times 2=14$；$V(5)=18+2(5-3)=22$；$V(9)=26$。在第5分钟，只用第二行，不把第一行算出的26与第二行的22再相加。第一阶段的12升已经包含在18升中，再加一次会重复计数。

第二行也可以展开为 $12+2t$，数值完全相同。但 $18+2(t-3)$ 更容易看出“切换时已有多少”和“之后新增多少”。反之，若误写为 $6+2t$，在第3分钟附近将给出约12升，与前一段的18升相差6升；调小水龙头本身没有排水，不能导致这些水凭空消失。

在切换点，折线的高度接上了，但倾斜程度改变。高度表示累计水量，斜率表示这一段每分钟的增量。

从图中 $(3,18)$ 出发，向右两分钟、向上四升，就到 $(5,22)$。第7分钟以后的水平线表示水仍在箱内，只是新增量为零。在这个模型中，注水规则可以突然改变，水量却没有跳跃。

每个端点到底属于哪一行

函数的定义域是三个范围的并集，即 $[0,\mathrm{\infty })$。本式把 $t=3$ 放在第一行、$t=7$ 放在第二行，任何非负输入都恰好落入一行，既没有遗漏也没有冲突。

怎样核查端点？第3分钟由第一行得到 $6+4\times 3=18$；若将第二行的表达式延伸代入3，也得到18。第7分钟由第二行得到 $18+2(7-3)=26$，与第三行常数26相等。因此也可以把3改分配给第二行、把7改分配给第三行，而不改变本函数的取值。

这种自由来自两边表达式在边界的值恰好相同，并不适用于所有分段函数。如果某个输入同时满足两行条件，而两行算出不同的输出，就没有定义出单值函数；如果某个预期输入不满足任何一行，则还欠缺该点的定义。函数的基本要求是唯一输出，不是必须只有一条代数式。OpenStax，§3.1

分段形式也不自动意味着“不连续”。水量的各段在3、7处接合，函数连续但图像有折角；$|x|$ 可写成 $x\ge 0$ 时取 $x$、$x<0$ 时取 $-x$，在零处也接合。反过来，一条收费规则可能在分界点直接跳到新的金额，下一节就是这种情况。

平均速率要按各段持续时间计算

从第2分钟到第5分钟跨过了切换点。第2至第3分钟以4升/分注水1分钟，第3至第5分钟以2升/分注水2分钟，总增量是 $$4\times 1+2\times 2=8\text{升}.$$ 总时间3分钟，所以平均变化率为 $8/3$ 升/分。也可以直接用函数端点核对：$[V(5)-V(2)]/(5-2)=(22-14)/3=8/3$。

若简单算 $(4+2)/2=3$，就把两种速率假定为各持续相同时间；这里持续时间1与2不同，所以需要加权。整个0至7分钟的平均增量则是 $(26-6)/7=20/7$ 升/分。分段公式保留每个阶段的机制，而一个全程平均数只保留总增量与总时间。

带跳跃的规则，空心点就不能随意挪动

考虑一个独立的合成收费变式：寄出一件包裹，重量 $w$ 以千克计，规定 $0<w\le 2$ 收8元，$2<w\le 5$ 收14元；超过5千克不在此服务范围内。这是整档收费，不按超出重量线性计价。费用函数为 $$C(w)=\{\begin{array}{cc}8,& 0<w\le 2,\\ 14,& 2<w\le 5.\end{array}$$

恰好2千克取下方实心点8元；超过2千克才取上方的14元。竖向空隙显示收费跳跃，不属于函数图像。

因此 $C(1.9)=8$、$C(2)=8$、$C(2.01)=14$。图中 $(2,14)$ 是空心点，表示第二条水平段在该位置不取值；$(2,8)$ 的实心点才是重量恰好2千克的费用。若用一条竖线把它们连起来，会错误地给重量2千克配上8至14元之间的许多费用。

把规则改为“重量小于2千克收8元，达到2千克就收14元”，只有一个输入的端点归属改变，但 $C(2)$ 就必须变成14。两种定义在其他允许输入上一致，边界值却不同，空心与实心不是装饰。重量零也未被原来的“寄出一件包裹”规则覆盖；若想规定不寄件费用为零，应明确补上一行 $C(0)=0$。

改动切换时刻，再接一次累计量

问题。水箱仍从6升开始，以4升/分注水；这次第2分钟就调为2升/分，到第5分钟关闭。写出水量函数，求第4分钟和第6分钟的水量。

解答。先算两个连接点。第2分钟水量为 $6+4\times 2=14$ 升；随后注水3分钟，关闭时为 $14+2\times 3=20$ 升。于是 $$W(t)=\{\begin{array}{cc}6+4t,& 0\le t\le 2,\\ 14+2(t-2),& 2<t\le 5,\\ 20,& t>5.\end{array}$$ 第4分钟处在第二段，所以 $W(4)=14+2(4-2)=18$ 升；第6分钟已经停水，$W(6)=20$ 升。再把2与5分别代回相邻表达式，两个连接点都吻合。改变切换时刻不仅改变右侧条件，还会改变下一段的起始累计量。

分段关系可以把固定比例、直线、二次式等不同规则放在各自适用范围。建立这样的模型时，先说明哪些条件发生改变，再写每段表达式，最后用端点与一个段内值检查它们确实描述同一个对象。

参考资料

• Jay Abramson 等，College Algebra 2e，§3.2 Domain and Range：分段定义、各段定义域及图像端点。
• 同书 §3.1 Functions and Function Notation：函数的唯一输出要求与图像判别。
• 同书 §3.3 Rates of Change and Behavior of Graphs：跨区间的平均变化率。