立体图形与直观图

立体图形占有空间，除了长和宽还有高度；直观图把它投影到纸面或屏幕，帮助辨认看得见和被遮住的部分。画面中的角度与线段长度常因投影改变，不能直接拿尺量直观图来代替三维计算。

从底面与侧面辨认几何体

棱柱有两个全等且平行的多边形底面，对应边由平行线段连接；棱锥只有一个多边形底面，其余侧面是汇于同一顶点的三角形。圆柱由两块平行的圆盘和侧面围成；圆锥由圆盘、一个顶点和侧面围成。球则是到固定中心距离不大于半径 $R$ 的所有空间点构成的实体，其边界是球面。棱台、圆台可由与底面平行的平面截去棱锥、圆锥顶部得到。

“底面”是描述方式的一部分，不总是物体实际放在桌上的那一面。倾斜放置的棱柱仍有两个全等平行底面；它的高是这两个底面所在平面间的垂直距离，而非倾斜侧棱的长度。后面计算体积会用到垂直高度。

看见的轮廓与真实长度

画边长 2 的正方体时，图上背后的棱通常用虚线，前方可见棱用实线；这种虚实仅表示遮挡，不改变几何体本身。正视、俯视、侧视三个投影可分别帮助读长、宽、高，但单一视图往往丢失一个方向的信息。两种不同实体也可能投影出同一个矩形。

直观图保留了三维邻接关系；正视和俯视图分别丢掉一个深度方向。

同一边长 2 的正方体，底面面对角线由勾股定理为 $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$；空间中从一个顶点到对面顶点的对角线再加上一段垂直高度 2，长度为 $$\sqrt{(2\sqrt{2}{)}^2+2^2}=2\sqrt{3}.$$ 直观图里这两条对角线看上去可能长度接近，真正的数值必须回到相互垂直的空间方向计算。若把画面上的斜线当作实际水平线，体积与距离都会出错。

平面切开之后会看到什么

平面平行于圆柱底面切开圆柱，截面是与底面全等的圆盘；平行于圆锥底面切开圆锥，截面仍是圆盘，但半径随距顶点的距离改变。球被距中心 $|z|<R$ 的平面切开，截面是半径 $\sqrt{R^2-z^2}$ 的圆盘；因为从球心到截面圆周上一点形成直角三角形，两个直角边分别为 $|z|$ 和截面半径。

这组截面把直观图与体积联系起来：棱柱、圆柱等高处的截面积保持不变；棱锥、圆锥沿高度方向缩小；球的截面从中心向两端缩小。接下来分别计算棱柱、棱锥与棱台、圆柱、圆锥与圆台和球的体积与表面积。

参考资料

• OpenStax，Contemporary Mathematics，§10.7：立体对象、表面积和体积的区分。
• 继续阅读：空间点线面的位置关系、棱柱、棱锥与棱台。