空间点线面的位置关系

平面直角坐标系里，两条不平行直线一定相交；到了三维空间，还可能既不平行也不相交。它们不在同一平面内，称为异面直线。学习空间几何时，纸上的交叉线条不一定代表实体中的交点，必须同时核对高度或所在平面。

三个不共线点确定一个平面

给出空间中不在同一直线上的三点 $A,B,C$，从 $A$ 沿 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 作所有线性组合 $A+s(B-A)+t(C-A)$，便得到过三点的平面。若三点共线，就还能绕这条直线转出许多不同平面，因而“不共线”不可删。图上常把平面画成四边形，只是表示其局部，真正的平面向各方向无限延伸。

直线与平面可能有三种关系：整条直线在平面内、只有一个交点、没有公共点而平行。取平面 $\Pi :z=0$：${\ell }_1:(x,y,z)=(t,0,0)$ 全在 $\Pi$；${\ell }_2:(0,1,t)$ 只在 $t=0$ 交于 $(0,1,0)$；${\ell }_3:(t,0,2)$ 的高度恒为 2，因此与 $\Pi$ 没有交点。把“在平面内”误说成“与平面平行”，会把有无公共点混在一起。

异面直线的一个坐标检查

看 $\ell :(t,0,0)$ 和 $m:(0,1,s)$。前者方向为 $(1,0,0)$，后者为 $(0,0,1)$，所以方向不平行。若两线相交，应有 $(t,0,0)=(0,1,s)$，但第二坐标要求 $0=1$，不可能。两线既不平行也不相交，因而异面；图上的投影即便相交，也不能改变这个结论。

判断异面要同时排除平行和公共点；一张平面投影不能单独证明确有交点。

两条不同平面要么平行、没有公共点，要么相交于一条直线。例如 $z=0$ 与 $x=0$ 相交于 $(0,y,0)$，也就是 $y$ 轴；$z=0$ 与 $z=2$ 平行。这些关系构成后续空间中的平行关系与空间中的垂直关系的对象基础。

练习：直线 $(x,y,z)=(1,2,3)+t(0,0,-1)$ 与 $z=0$ 何时相交？令 $3-t=0$ 得 $t=3$，交点为 $(1,2,0)$。代入平面方程核验其第三坐标确实为零。

参考资料

• OpenStax，Calculus Volume 3，§2.5：空间直线、平面和异面直线。
• 继续阅读：立体图形与直观图、空间中的平行关系、空间中的垂直关系。