事件运算与古典概型

随机事件是一组可能的试验结果；古典概型要求样本空间有限且每个基本结果等可能。例如同时掷两枚可区分的公平骰子，把第一枚、第二枚的点数记成有序对 $(i,j)$，样本空间有 $6\times 6=36$ 个等可能结果。只数“点数和有几种”会把不同结果误当成等可能：和为 2 只有 $(1,1)$，和为 7 却有六个有序对。

从具体结果认出事件运算

令 $A$ 表示“第一枚是偶数”，$B$ 表示“两枚点数和至少为 10”。$A$ 有 $3\times 6=18$ 个结果；$B$ 的六个结果是 $(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)$。两个条件同时成立的结果为 $(4,6),(6,4),(6,5),(6,6)$，共 4 个。

$A\cap B$ 是“两个条件都成立”，$A\cup B$ 是“至少一个成立”，$A^c$ 是“$A$ 不成立”。如下图把重复计入的交叠区域单独画出；数并集时必须减掉这 4 个结果一次。

36 个等可能结果被分为 A 独有、交集、B 独有和两者都没有四部分。

古典概型用“有利结果数 ÷ 总结果数”计算，所以 $$P(A)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2},P(B)=\frac{6}{36}=\frac{1}{6},P(A\cap B)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}.$$ 对并集，先加 $18+6$，交集被算了两次，减去 4 得 $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}.$$ 补事件 $A^c$ 是“第一枚为奇数”，有 18 个结果，所以 $P(A^c)=1-P(A)=1/2$。这些事件关系对一般概率也成立；等可能只是在这里把概率化成了简单计数。

计数模型的边界

若一枚骰子被配重，36 个有序对不再等可能，“结果个数 ÷ 36”就不是概率。即便骰子公平，换成“点数和”作为基本结果也不能把 2 至 12 的 11 个数当作等可能。先说清每个基本结果是什么、是否等可能，再数事件大小。$A$ 与 $B$ 在本例也并非独立，因为 $P(A\cap B)=1/9$，而 $P(A)P(B)=1/12$；这两数不相等，见事件独立性。

练习：两枚点数和恰为 10 的概率是多少？对应 $(4,6),(5,5),(6,4)$ 三个结果，故为 $3/36=1/12$。若只说“10 是一个可能的和，所以概率是 $1/11$”，便漏掉了各个和背后的结果数并不相同。

参考资料

• OpenStax，Introductory Statistics 2e，§3.1：样本空间与事件。
• 继续阅读：概率、条件概率、频率与概率。