圆锥曲线的反射性质

圆锥曲线的反射性质把“到焦点或准线的距离条件”与切线处的入射、反射方向联系起来。这里讨论理想的几何反射：入射方向与反射方向相对于切线成相等角；真实装置还受表面误差、遮挡等因素影响。

椭圆：一焦点的射线反射后经过另一焦点

在椭圆上取非顶点 $P$ ，设 $u_{1}, u_{2}$ 分别是从焦点 $F_{1}, F_{2}$ 指向 $P$ 的单位向量。椭圆满足 $P F_{1} + P F_{2} = 2 a$ 。点 $P$ 沿切线作一个极小位移 $v$ 时，距离和的一阶变化为 $(u_{1} + u_{2}) \cdot v$ ；因仍沿椭圆走，这个变化为零。所以 $u_{1} + u_{2}$ 垂直于切线，是法线方向。

两个单位向量的和沿它们的角平分线。来自 $F_{1}$ 、到达 $P$ 的方向是 $u_{1}$ ；经过镜面反射后，方向是 $- u_{2}$ ，即从 $P$ 指向 $F_{2}$ 。可代数核对：令 $n = (u_{1} + u_{2}) / | u_{1} + u_{2} |$ ，反射公式 $w \mapsto w - 2 (w \cdot n) n$ 给出 $u_{1} \mapsto - u_{2}$ 。因为 $| u_{1} | = | u_{2} | = 1$ ，有 $2 u_{1} \cdot (u_{1} + u_{2}) = | u_{1} + u_{2} |^{2}$ ，所以系数恰为 1。焦点处没有椭圆曲线上的点；本证明使用的是曲线上光滑点的切线。

椭圆上点P处的切线，一条来自左焦点的射线经P反射并指向右焦点，法线平分相关方向 — 距离和恒定决定切线的法向量，也决定了两个焦点射线与切线的等角关系。

抛物线：焦点射线反射成平行光

对于 $y^{2} = 4 p x$ 、 $p > 0$ ，焦点为 $F = (p, 0)$ ，准线为 $x = - p$ 。曲线上点 $P$ 满足 $P F = x + p$ 。设 $u$ 为从焦点指向 $P$ 的单位向量， $e_{x} = (1, 0)$ 为向右的单位向量。沿曲线切线方向 $v$ 时，等距式两边的一阶变化相同，即 $u \cdot v = e_{x} \cdot v$ 。因此 $u - e_{x}$ 为法线；反射公式把 $u$ 变成 $e_{x}$ 。在顶点，来自焦点的入射方向为 $(- 1, 0)$ ，竖直切线将其反射为 $(1, 0)$ ，同一结论仍成立。反向行进的平行光则会汇向焦点。

这解释了抛物面反射器的几何设计：若将二维抛物线绕对称轴旋转，平行轴线的理想入射线在反射后经过焦点。仅仅画出“碗形”不足以推出聚焦；焦点与准线给出了正确形状的距离条件。实际离轴入射、有限口径与表面精度需要另外分析。

双曲线：反射射线的反向延长线经过另一焦点

在双曲线右支，距离条件为 $P F_{1} - P F_{2} = 2 a$ 。若 $u_{1}, u_{2}$ 仍是两焦点指向 $P$ 的单位向量，切线的法向量改为 $u_{1} - u_{2}$ 。反射公式因而把从 $F_{1}$ 来的 $u_{1}$ 变成 $u_{2}$ ：反射光沿从 $F_{2}$ 指向 $P$ 的方向离开，它的反向延长线经过 $F_{2}$ 。这与椭圆的“反射后真的走向另一焦点”不同，不能只说两个焦点能互相反射而略去射线方向。

参考资料

OpenStax，Precalculus 2e，§10.1 The Ellipse、§10.3 The Parabola：焦点与准线的几何定义。
先修：椭圆、双曲线、抛物线、导数；反射方向的向量运算见向量的内积。