抛物线

抛物线是平面上到一个固定点与到一条固定直线的距离相等的点集。固定点为焦点，固定直线为准线，焦点不能在准线上。点到准线的距离必须沿垂线量；任意连到准线的斜线通常更长。

焦点与准线的等距条件

令焦点 $F = (2, 1)$ ，准线 $ℓ : x = - 2$ 。设 $P = (x, y)$ ，点到焦点距离为 $\sqrt{(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2}}$ ，到竖直准线距离为 $| x + 2 |$ 。两边非负，平方并展开： $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = (x + 2)^{2}, (y - 1)^{2} = 8 x .$ 等式右侧非负，故 $x \geq 0$ ，顶点为 $(0, 1)$ 。点 $(2, 5)$ 在曲线上：它到焦点的距离为 4，到准线的垂距也是 4。反向验证时，若点满足 $(y - 1)^{2} = 8 x$ ，代回可得两段距离平方相等，而两段距离本身都非负，故它们确实相等。

抛物线上点二五与焦点二一、准线横坐标负二的等距线段，向准线作垂线 — 点 P 到焦点与到垂足 H 的距离都是 4；PH 才是点到准线的距离。

标准方程与开口

把顶点移到原点，取焦点 $(p, 0)$ 、准线 $x = - p$ ，其中 $p > 0$ 是焦点到顶点的距离。重复上面的展开，得到 $y^{2} = 4 p x$ ，开口向右。焦点在 $(- p, 0)$ 、准线 $x = p$ 时得到 $y^{2} = - 4 p x$ ，开口向左。沿竖直轴的两种情形相应为 $x^{2} = 4 p y$ 和 $x^{2} = - 4 p y$ 。若允许 $p$ 带符号，也可统一写 $y^{2} = 4 p x$ 或 $x^{2} = 4 p y$ ，焦点、准线的方向由 $p$ 的符号确定。

在 $y^{2} = 4 p x$ 中，穿过焦点、垂直于对称轴的弦位于 $x = p$ 。代入得 $y = \pm 2 p$ ，弦长 $4 p$ ，称为通径。焦点到准线的距离为 $2 p$ ，不要把它与顶点到焦点的 $p$ 混淆。

二次函数图像与抛物线

给定 $y = a x^{2} + b x + c$ ， $a \neq 0$ 。配方而不必猜顶点： $y = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + c - \frac{b^{2}}{4 a} .$ 记 $h = - b / (2 a)$ 、 $k = c - b^{2} / (4 a)$ ，则 $(x - h)^{2} = (1 / a) (y - k) = 4 p (y - k)$ ，其中有符号参数 $p = 1 / (4 a)$ 。因此顶点为 $(h, k)$ ，焦点为 $(h, k + p)$ ，准线为 $y = k - p$ 。这给出了二次函数图像确实满足焦点—准线定义的理由，而非只凭外形相似。

例如 $y = 2 x^{2} - 8 x + 5 = 2 (x - 2)^{2} - 3$ 。顶点 $(2, - 3)$ ， $p = 1 / 8$ ，焦点 $(2, - 23 / 8)$ ，准线 $y = - 25 / 8$ 。代入点 $(3, - 1)$ ，到焦点的距离平方为 $1 + (15 / 8)^{2} = 289 / 64$ ，到准线的距离为 $17 / 8$ ，平方也为 $289 / 64$ 。若把 $a = 0$ 带入这套公式， $p$ 不存在；这时图像是直线而非抛物线。

参考资料

OpenStax，Precalculus 2e，§10.3 The Parabola：焦点、准线、顶点与标准式。
先修：圆锥曲线、二次函数、方程与不等式；继续：圆锥曲线的反射性质。