椭圆

椭圆是平面上到两个定点的距离之和等于固定正数 $2 a$ 的点集，两个定点称为焦点。焦点间距为 $2 c$ 时，真正的椭圆要求 $a > c \geq 0$ ；若 $a = c > 0$ ，点集退化为两焦点之间的线段，若 $a < c$ 则没有点满足条件。

两个焦点和一根固定长度的绳

令 $F_{1} = (- 4, 0)$ 、 $F_{2} = (4, 0)$ ，并要求 $P F_{1} + P F_{2} = 10$ 。点 $P = (0, 3)$ 到两焦点都为 5；点 $(5, 0)$ 到两焦点分别为 9 和 1。两点都满足长度和为 10，说明只凭到某一个焦点的距离不能判定是否在椭圆上。由三角不等式，任意 $P$ 均有 $P F_{1} + P F_{2} \geq F_{1} F_{2} = 8$ ，这也解释了长度和必须大于焦点间距才会出现封闭曲线。

焦点负四零与四零，椭圆上端点零三到两焦点距离都为五 — 两段焦距之和恒为 10；图中上端点把它分成两个 5。

焦距条件推出标准方程

一般取 $F_{1} = (- c, 0), F_{2} = (c, 0)$ ， $a > c \geq 0$ ，点 $P = (x, y)$ 到焦点的距离依次为 $r_{1}, r_{2}$ 。坐标距离给出 $r_{1}^{2} - r_{2}^{2} = (x + c)^{2} - (x - c)^{2} = 4 c x$ 。若 $r_{1} + r_{2} = 2 a$ ，利用平方差可知 $r_{1} - r_{2} = \frac{2 c x}{a}, r_{1} = a + \frac{c x}{a}, r_{2} = a - \frac{c x}{a} .$ 将 $r_{1}^{2} = (x + c)^{2} + y^{2}$ 代入第一段表达式，展开并消去 $2 c x$ ： $a^{2} + \frac{c^{2} x^{2}}{a^{2}} = x^{2} + c^{2} + y^{2}, (a^{2} - c^{2}) \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = a^{2} - c^{2} .$ 设 $b^{2} = a^{2} - c^{2} > 0$ ，两边除以 $b^{2}$ ，得到标准方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, a \geq b > 0, c^{2} = a^{2} - b^{2}$ （ $c = 0$ 时 $a = b$ ，成为圆）。反过来，从方程知 $| x | \leq a$ ，故 $a \pm c x / a > 0$ ；它们的平方分别等于对应焦距的平方，于是实际焦距确为这两个数，和为 $2 a$ 。这个反向核验排除了平方时引入不合条件的点。

轴、顶点与离心率

方程只含 $x^{2}, y^{2}$ ，关于两坐标轴和原点对称。令 $y = 0$ 得长轴端点 $(\pm a, 0)$ ；令 $x = 0$ 得短轴端点 $(0, \pm b)$ 。长轴长 $2 a$ ，短轴长 $2 b$ 。离心率 $e = c / a$ 满足 $0 \leq e < 1$ ：这里它是焦点到中心距离与半长轴之比； $e = 0$ 时焦点重合，轮廓是圆。

开头的例子有 $a = 5, c = 4, b = \sqrt{25 - 16} = 3$ ，故方程是 $x^{2} / 25 + y^{2} / 9 = 1$ ，离心率 $4 / 5$ 。如果焦点改为 $(0, \pm c)$ ，长轴竖直，只须交换 $x, y$ ： $x^{2} / b^{2} + y^{2} / a^{2} = 1$ 。不能只因分母大就断定某个坐标是焦点坐标，还要看那个分母对应哪条轴。

焦点距离还可由横坐标直接读出：前述推导给出 $r_{1} = a + c x / a$ 、 $r_{2} = a - c x / a$ 。由于 $- a \leq x \leq a$ ，每一段焦距在 $a - c$ 与 $a + c$ 之间。焦点为 $(\pm 4, 0)$ 的算例里，这个范围是 1 到 9；右顶点处两段恰为 9 和 1，短轴端点处各为 5。这个范围不是凭图估计，而是从方程给出的横坐标界和焦距公式逐步推出的。

平移后的一个完整算例

设焦点为 $(1 \pm 3, - 2)$ ，长度和为 10。中心是 $(1, - 2)$ ，半长轴 $a = 5$ ，焦距参数 $c = 3$ ，所以 $b^{2} = 25 - 9 = 16$ 。把标准式中的 $x, y$ 换成相对中心的坐标，得到 $\frac{(x - 1)^{2}}{25} + \frac{(y + 2)^{2}}{16} = 1.$ 顶点是 $(- 4, - 2), (6, - 2)$ ，短轴端点是 $(1, 2), (1, - 6)$ 。取右顶点 $(6, - 2)$ ，到焦点 $(- 2, - 2), (4, - 2)$ 的距离为 8 与 2，和确为 10。若只给椭圆中心和两个焦点，尚不能确定轴长；长度和这一附加条件在这里不可少。

参考资料

OpenStax，Precalculus 2e，§10.1 The Ellipse：焦点定义、轴和标准式。
先修：圆锥曲线、勾股定理；继续：双曲线、圆锥曲线的反射性质。