空间直线与平面的向量方程

空间直线与平面的向量方程把位置关系转成方向关系。直线由一个点和非零方向向量确定；平面由一个点和非零法向量确定。法向量与平面内的每个方向垂直，而不只是与图上碰巧画出的某一条线垂直。

点与方向确定直线

设直线经过 $P_{0} = (1, 0, 2)$ ，方向向量 $d = (2, 1, - 1)$ 。在直线上前进实数倍 $t$ 的 $d$ ，得到 $P = P_{0} + t d = (1 + 2 t, t, 2 - t), t \in ℝ .$ 例如 $t = 3$ 给出 $(7, 3, - 1)$ ；点 $(3, 1, 1)$ 对应 $t = 1$ ，也在直线上。只有第一个坐标碰巧符合某个 $t$ 不够，三个坐标必须由同一个 $t$ 产生。

法向量确定平面

设平面经过 $Q_{0} = (0, 1, 1)$ ，法向量 $n = (1, - 2, 2)$ 。平面上的点 $Q = (x, y, z)$ 满足 $\vec{Q_{0} Q} \cdot n = 0$ ，展开为 $x - 2 (y - 1) + 2 (z - 1) = 0, x - 2 y + 2 z = 0.$ 从一般式 $A x + B y + C z + D = 0$ 读出的法向量是 $(A, B, C)$ ，前提是 $(A, B, C) \neq (0, 0, 0)$ 。用两条不共线的平面内方向也能确定平面：若它们为 $u, v$ ，则 $Q = Q_{0} + s u + t v$ ；它们的外积 $u \times v$ 可作法向量。

空间平面上有点Q零一一，法向量n从该点竖起；方向向量d沿一条斜线穿过平面 — 法向量与平面内两个独立方向均垂直；穿过平面的直线方向与法向量有非零内积。

平行、垂直与交点

将直线 $P_{0} + t d$ 代入平面 $n \cdot (X - Q_{0}) = 0$ ，得到一个关于 $t$ 的方程： $n \cdot (P_{0} - Q_{0}) + t (n \cdot d) = 0.$ 若 $n \cdot d \neq 0$ ，它有唯一解，直线与平面相交一点。上例 $n \cdot d = 2 - 2 - 2 = - 2$ ，而 $P_{0} - Q_{0} = (1, - 1, 1)$ 给出 $n \cdot (P_{0} - Q_{0}) = 1 + 2 + 2 = 5$ 。因此 $5 - 2 t = 0$ ，即 $t = 5 / 2$ ；交点为 $(6, \frac{5}{2}, - \frac{1}{2})$ 。代回平面方程， $6 - 5 - 1 = 0$ ，与求解一致。

若 $n \cdot d = 0$ ，直线方向与平面平行；再代入 $P_{0}$ ：若 $n \cdot (P_{0} - Q_{0}) = 0$ ，整条直线在平面内，否则直线与平面平行且不相交。若 $d$ 与 $n$ 成非零倍数，直线垂直于平面。两平面的法向量成比例时，两平面平行或重合；两个法向量的内积为零时，两平面垂直。

条件的用法

“两条空间直线方向平行”还不能判定它们重合： $(t, 0, 0)$ 与 $(t, 1, 0)$ 的方向同为 $(1, 0, 0)$ ，却是两条不同的平行线。判断重合还须检查其中一条线的一个点是否落在另一条线上。空间中两条方向不平行的线也未必相交，可能是异面直线；例如 $(t, 0, 0)$ 与 $(0, s, 1)$ 永远不能取到同一个 $z$ 坐标。

参考资料

OpenStax，Calculus Volume 3，§2.5 Equations of Lines and Planes in Space：方向、法向量与空间位置关系。
先修：空间直角坐标系与向量坐标、向量的内积；后续：空间中的距离与夹角。