高中数学选择性必修第三册学习路径
高中数学选择性必修第三册学习路径把三个看似分散的主题连起来：先数清有多少种结果，再给结果分配概率，最后从成对观测判断数据支持怎样的关系。以下学习次序对应计数原理、随机变量及其分布、成对数据的统计分析三章；文字、算例与图示独立编写，章节只用于安排知识依赖。
第六章 计数原理
从分类加法计数原理与分步乘法计数原理出发，先写清一个完整结果是什么：互斥的类别相加，连续选择的路径相乘。条件改变时，数目可能需要“每支先乘、各支再加”，不能只看题目里的“或”“且”两个字。到排列与组合，交换两人位置是否形成新结果是关键；排列数先数有序结果，组合数再把每个无序结果被数到的次数除去。
二项式定理把“从 个括号里选 个取第二项”的计数写成多项式系数。杨辉三角按“含不含指定元素”把相邻两行连接起来，解释递推、对称和行和。更广的分类、容斥与分配问题可读组合数学。
连贯检验。四名同学中选两名参加展示，有 种；若还须指定其中一人为讲解者，有 种。把这四人写成四个 因子， 的系数 6 又回到“不分角色地选两人”。三个答案分别在数什么，必须说得出来。
第七章 随机变量及其分布
先读条件概率，注意条件会改变可选结果；全概率公式把一件事按互斥而完备的情形拆开，贝叶斯定理则在获得证据后回头比较不同原因。随后读随机变量与离散型随机变量的分布列：抽卡结果可被压缩成“抽到几张标记卡”，但分布列必须把每个数值的概率写全且加起来等于 1。离散型随机变量的均值与方差沿用同一组抽卡概率，逐项算中心与波动。
再把抽样机制作为模型条件核对。固定次数、独立且每次成功概率相同，成功次数服从二项分布；有限总体中不放回抽样，标记数服从超几何分布。两者可以有相同均值，却有不同方差和尾部概率。正态分布描述连续取值的密度，单个点的概率不能像离散分布那样读柱高，而须对区间求面积。
连贯检验。5 张卡中 2 张标记，不放回抽 2 张，标记数 的概率依次为 ，均值 0.8、方差 0.36。改成每次放回后，均值仍为 0.8，但概率变为 ，方差 0.48。重算这两组三个概率，才算真正辨清了两个分布。
第八章 成对数据的统计分析
先用散点图保留 的配对，观察形状、方向与离群点；相关系数把线性方向和强度写成无单位数值，但 不排除曲线关系。一元线性回归对同一组四个点求出最小二乘直线，画残差并解释斜率、决定系数和外推限制；更一般的假设与不确定性可接着读线性模型、最小二乘法。
若记录的是“组别”和“是否参加”这类类别，而不是两项数值，则先排列联表与独立性检验，比较各组比例，再用独立假设下的期望频数计算卡方统计量。相关、回归与检验都在说明样本呈现了什么以及结论受哪些条件限制；任何一个数字都不能独自证明因果。
连贯检验。同样面对两列记录，先问每列是数值还是类别：身高与体重宜从散点图开始；班级与是否参加活动宜从列联表开始。若把班级编码成 1、2、3 就直接算皮尔逊相关，编码顺序会凭空制造距离，统计量会失去原本要表达的含义。
参考资料
- MIT 6.042J 课程讲义：计数与组合恒等式。
- Penn State STAT 414，第 7 课、第 8 课：离散分布与数字特征。
- Penn State STAT 200，第 12 课、第 11 课：相关、回归与列联表检验。
- 前一册见高中数学选择性必修第二册学习路径；本站词条以定义、推导和可复算例题为主，不复刻教材章节正文。