囚徒困境

囚徒困境（prisoner's dilemma）是一种两人同时决策的博弈：每个人都能从单方背叛得到眼前好处，但两人都这样做，比两人都合作更差。故事里的“囚徒”只是模型比喻，关键是收益的相对次序。

用 C 表示合作、D 表示背叛。下面四格是教学收益，不是刑期；每格先甲后乙：

甲＼乙	合作 C	背叛 D
合作 C	(3,3)	(0,5)
背叛 D	(5,0)	(1,1)

看甲：乙合作时，甲选 D 得 5 而选 C 得 3；乙背叛时，甲选 D 得 1 而选 C 得 0。两次比较都偏向 D，所以 D 是甲的严格占优策略。乙的表格对称，也选 D。于是（D,D）是唯一纳什均衡，双方各得 1；（C,C）虽各得 3，却不能在一次同时行动的博弈里靠个人自愿保持：只要对方 C，改选 D 就能从 3 升至 5。

一般收益条件

通常把背叛合作方所得记为 $T$，共同合作所得记为 $R$，共同背叛所得记为 $P$，合作而遭背叛所得记为 $S$。上表分别是 $T=5,R=3,P=1,S=0$。满足 $$T>R>P>S$$ 时，对方合作就有 $T>R$，对方背叛就有 $P>S$，所以 D 严格占优；又有 $R>P$，说明共同合作优于共同背叛。这三处不等式分别负责三段论证，少一处便不能照搬结论。有时还加 $2R>T+S$，用于排除交替“占便宜—吃亏”比持续合作更好的情形；它不是一次博弈占优策略论证所必需的条件。

从共同设施的收益生成困境

设两户共享一项小型公共设施，各户决定是否出资。每有一户出资，两户各得到价值 2 的改善；出资者自己还要付成本 3。若甲、乙都出资，每人收益 $2+2-3=1$；只甲出资，甲得 $2-3=-1$，乙得 2；两人都不出资，双方得 0。因此按（出资，出资）、（不出资，出资）、（不出资，不出资）、（出资，不出资）顺序，个人收益为 $R=1,T=2,P=0,S=-1$，仍满足 $T>R>P>S$。

这个版本的“背叛”只是不出资。面对乙出资，甲不出资得 2，大于出资的 1；面对乙不出资，甲不出资得 0，大于出资的 −1。但两户都出资各得 1，优于都不出资的 0。把收益拆成每户获得的改善与自己付出的成本，就能看出困境来自个人承担全部成本，却只得到自身那一份边际收益。若收益或成本不同，先重新列收益，不能只凭“公共设施”四字断定它仍是囚徒困境。

不是所有合作问题都是囚徒困境

猎鹿博弈也讨论合作，但其中对方选择合作时，自己也愿意合作，因此会有（合作，合作）这个均衡。囚徒困境恰恰相反：即便对方已经合作，单方仍有背叛诱因。两类博弈的政策含义不同：前者偏向解决协调与信任，后者须改变激励或行动环境。

把同一博弈玩许多轮，可以让本轮行动影响今后的回应；重复博弈给出持续合作的精确条件。那不是推翻本页的一次博弈结论，而是增加了未来收益和可观察的历史。

参考资料

• MIT：策略式博弈与纳什均衡讲义，囚徒困境矩阵与单方偏离。
• Jonathan Levin：〈Repeated Games I〉，一次与无限重复的区别。