余弦定理

余弦定理（law of cosines）把三角形的三条边与一个内角联系起来：一边的平方，等于另外两边的平方和，再减去这两边乘积与其夹角余弦乘积的两倍。它使勾股定理能够推广到非直角三角形，既能由两边及其夹角求第三边，也能由三边求角。

三条边已知，角度藏在哪里

取一个边长为十三、十四、十五的三角形，统一标记为 $$a=BC=13,b=CA=14,c=AB=15.$$ 小写边长 $a,b,c$ 分别与顶点 $A,B,C$ 处的内角相对。下文也用 $A,B,C$ 表示相应角度；例如角 $A$ 夹在边 $b$ 与 $c$ 之间，正对边 $a$。选哪个角，必须先找清它的对边。

把 $AB$ 水平放置，从 $C$ 向直线 $AB$ 作垂线，垂足为 $D$。本例的垂足落在边内。设 $AD=d$、$CD=h$，则两个直角三角形分别给出 $$d^2+h^2=14^2,(15-d{)}^2+h^2=13^2.$$ 第二式减第一式，两个 $h^2$ 消去： $$225-30d=169-196=-27.$$ 于是 $30d=252$，所以 $d=42/5=8.4$。再代回第一式， $$h^2=196-\frac{1764}{25}=\frac{3136}{25},h=\frac{56}{5}=\mathrm{11.2.}$$ 高为正，故取正平方根。

作高后，同一个 h 出现在两个勾股关系中；相减便能求出水平投影 d。

看直角三角形 $ACD$，角 $A$ 的邻边是 $AD$，斜边是 $AC$，因此 $$\cos A=\frac{AD}{AC}=\frac{8.4}{14}=\frac{3}{5}.$$ 角度为 $A=\arccos (3/5)\approx 53.1301^{\circ }$。其中 $\arccos$ 表示反余弦：在零至一百八十度之间，找余弦等于给定值的角。上面的计算没有先知道角度，而是从边长中把它求了出来。

从这个算例推到一般公式

在平面欧氏几何中，设 $ABC$ 是非退化三角形，边长均为正。仍令 $A=(0,0)$、$B=(c,0)$，并将 $C$ 放在横轴上方。记其坐标为 $C=(d,h)$，其中 $h>0$。

此时 $d$ 是带正负号的横坐标，未必是一条线段的正长度。坐标形式的余弦与正弦给出 $$d=b\cos A,h=b\sin A.$$ 距离平方满足 $$b^2=d^2+h^2,a^2=(c-d{)}^2+h^2.$$ 展开第二个平方，把相同部分合并： $$a^2=c^2-2cd+d^2+h^2=c^2-2cd+b^2.$$ 最后代入 $d=b\cos A$，得到 $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A.$$ “减去的那一项”来自横向距离 $c-d$ 的平方展开。它度量了两边方向之间的联系，而不是额外记忆的修正数字。

换一个顶点作起点，就得到另外两种写法： $$b^2=c^2+a^2-2ca\cos B,$$ $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.$$ 三式的规则相同：左边是所选角的对边平方，右边相乘的是夹住这个角的两条边。OpenStax《Precalculus 2e》§8.2

钝角时，垂足跑到边外怎么办

设 $b=3$、$c=5$、$A=120^{\circ }$。这时 $$d=b\cos 120^{\circ }=3(-\frac{1}{2})=-\frac{3}{2},h=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$$ 垂足在 $A$ 的左边，线段 $AD$ 的长度是 $3/2$，但点 $D$ 的横坐标是 $-3/2$。从 $B$ 到 $D$ 的水平距离为 $$c-d=5-(-\frac{3}{2})=\frac{13}{2}.$$ 因此坐标证明仍然有效： $$a^2={\left(\frac{13}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{169+27}{4}=49,$$ 所以 $a=7$。

辅助线延长到 A 左侧。负的是横坐标 d，不是线段 AD 的长度。

直接用余弦定理也得到 $$a^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5(-\frac{1}{2})=34+15=49.$$ 钝角余弦为负，所以公式里的减法最终增加了十五。若把负余弦误改成正数，就会把张开的钝角当成锐角，得到另一条边长。

锐角、直角和钝角如何从边长看出来

从同一个公式移项： $$a^2-(b^2+c^2)=-2bc\cos A.$$ 因为 $b,c>0$，左右两侧符号只由 $\cos A$ 决定。

角 $A$	余弦符号	边长平方关系
$0^{\circ }<A<90^{\circ }$	$\cos A>0$	$a^2<b^2+c^2$
$A=90^{\circ }$	$\cos A=0$	$a^2=b^2+c^2$
$90^{\circ }<A<180^{\circ }$	$\cos A<0$	$a^2>b^2+c^2$

两边不变，夹角越张开，对边越长。中间一行恰好回到三四五直角三角形。

表格首先判别的是所选的角。若要判别整个三角形，应选最大边所对的角，因为最大边对最大角。本例最大边十五，$15^2=225<13^2+14^2=365$，所以最大角仍是锐角，整个三角形都是锐角。

还可以逐个求角： $$\cos B=\frac{13^2+15^2-14^2}{2\cdot 13\cdot 15}=\frac{33}{65},$$ $$\cos C=\frac{13^2+14^2-15^2}{2\cdot 13\cdot 14}=\frac{5}{13}.$$ 由此 $B\approx 59.4898^{\circ }$、$C\approx 67.3801^{\circ }$，与 $A\approx 53.1301^{\circ }$ 相加为一百八十度（显示位数带来少量舍入误差）。计算器若设置为弧度，应先转换单位，不能把弧度数直接标为度。

不经过两点之间，也能求它们的距离

设测站 $A$ 与目标 $B,C$ 在同一平面，已经测得 $AB=80$ 米、$AC=100$ 米，两条观测方向的内夹角为 $60^{\circ }$，要求 $BC$。这是教学设定的理想测量数据。

已知的是两边及其夹角；待求 BC 正对这个六十度角。

在约定中 $c=80$、$b=100$、$a=BC$。代入即可逐步得到 $$a^2=100^2+80^2-2\cdot 100\cdot 80\cos 60^{\circ }$$ $$=10000+6400-16000\cdot \frac{1}{2}=8400.$$ 因此 $$BC=\sqrt{8400}=20\sqrt{21}\approx 91.65\mathrm{m}.$$ 答案满足 $|100-80|<91.65<100+80$，与三角形不等式一致。若错把它当成直角，勾股计算会给出约一百二十八点零六米；缺少夹角项，就等于换了测量情境。真实测距还应考虑仪器误差，所得小数不应宣称比输入更精确。

哪些给定条件能确定答案

若已知正长度 $b,c$ 与它们的内夹角 $0<A<\pi$，第三边由正平方根唯一确定。若已知三条正边且满足严格三角形不等式，则 $$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$ 落在 $(-1,1)$ 内，反余弦给出唯一内角。具体地， $$-1<\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}<1$$ 等价于 $$(b-c{)}^2<a^2<(b+c{)}^2,$$ 也就是 $|b-c|<a<b+c$。这说明边长可组成三角形与角度可取真实内角，是同一几何限制的两种写法。

如果 $a=b+c$，则 $A=\pi$；如果 $a=|b-c|$ 且三条边仍为正，则 $A=0$。两种情况都使三点共线，面积为零，是公式的退化边界，而不是普通三角形。三角形不等式失败时，应先核对输入，不能把超出 $[-1,1]$ 的余弦值强行当成角。

已知两边和一个非夹角则可能有两个解。例如 $a=3,b=4,A=30^{\circ }$，这里 $A$ 不夹在已知的 $a,b$ 之间。余弦定理成为关于未知 $c$ 的二次方程： $$9=16+c^2-4\sqrt{3}c,c^2-4\sqrt{3}c+7=0.$$ 配方得 $(c-2\sqrt{3}{)}^2=5$，所以 $$c=2\sqrt{3}\pm \sqrt{5}.$$ 两个正值约为 $1.2280$ 和 $5.7002$，都在 $|4-3|<c<4+3$ 内，因此确有两个三角形。关键区别是给出的角是否为两条已知边的夹角。

与面积、向量和历史的联系

余弦定理求出一个角后，可以用 $\Delta =bc\sin A/2$ 求面积；进一步消去正弦与余弦，就得到只含三边的海伦公式。十三、十四、十五的例子有 $\sin A=4/5$，所以 $\Delta =14\cdot 15\cdot (4/5)/2=84$ 平方单位。

在坐标中，令 $𝐮=\overrightarrow{AB}$、$𝐯=\overrightarrow{AC}$，两向量之差连接另两个顶点。把坐标平方展开，便得到 $$\Vert 𝐮-𝐯{\Vert }^2=\Vert 𝐮{\Vert }^2+\Vert 𝐯{\Vert }^2-2𝐮\cdot 𝐯.$$ 这里点积 $𝐮\cdot 𝐯=u_1{v}_1+u_2{v}_2=bc\cos A$，所以这正是同一个余弦关系的线性代数写法。

《几何原本》第二卷命题十二、十三分别讨论钝角与锐角情形，用平方和投影所成矩形的面积表达对应关系。原文并没有今天的余弦符号；现代三角函数把两种几何关系统一成上述公式。欧几里得《几何原本》II.12，David Joyce 英译与注释；II.13

参考资料

• OpenStax，Precalculus 2e，§8.2：坐标推导、三边求角与两边夹角求边。
• David Joyce，Laws of Cosines & Sines，Clark University：锐角、钝角推导与古代命题的关系。
• Euclid，Elements II.12；II.13：投影与平方关系的原命题。
• 相关：勾股定理、海伦公式、欧氏几何、线性代数。