指数增长与衰减

指数增长与衰减（exponential growth and decay）描述这样的变化：一个量的瞬时变化率与它当前的大小成正比。增长时，规模越大，每单位时间增加的量越多；衰减时，剩余越少，每单位时间减少的量也越少。保持不变的是相对变化率，而不是每次增加或减少的数量。

每三小时翻倍，究竟固定了什么

设一个培养实验在所研究的短时间内，营养和环境近似不变。用 $N (t)$ 表示培养物总质量，单位为 mg，时间 $t$ 以小时计。以下数据是教学假设：初始质量为 50 mg，每经过 3 h，质量成为原来的两倍。因此，在 0、3、6、9 h，质量依次为 50、100、200、400 mg。

这几次增加量是 50、100、200 mg，并不相等；相邻两次质量的比值始终为 2。若把翻倍规律延伸到任意非负实数时间，得到 $N (t) = 50 2^{t / 3} .$ 指数 $t / 3$ 表示经过了多少个“3 小时”。严格写单位时，它是 $t / (3 h)$ ，必须无量纲。1.5 h 对应半个翻倍周期，所以质量是 $50 \sqrt{2} \approx 70.711$ mg，不是 75 mg。后一个数来自每小时固定增加 $50 / 3$ mg 的线性模型。

指数曲线从零小时五十毫克经过三小时一百、六小时二百和九小时四百；虚线线性模型只在零和三小时与它相交 — 实点之间也按乘法规律插值；虚线则每三小时固定增加50 mg。

图中两种模型都能经过最初两个点。只看两个观测值，无法判定后续变化一定服从哪一种规律；这里先声明比例增长假设，再求它的数学后果。

从“每单位质量”得到微分方程

若每 1 mg 培养物每小时产生的净增量近似相同，记这个比例系数为 $r$ ，则在短时间 $Δ t$ 内，增量近似为 $r N (t) Δ t$ 。除以时间，再令时间间隔趋于零，就得到 $N^{'} (t) = r N (t), N (0) = N_{0} .$ 这里 $N_{0} > 0$ ， $r$ 的单位是 $h^{- 1}$ ，所以 $r N$ 的单位是 mg/h。比例系数 $r > 0$ 时增长， $r < 0$ 时衰减， $r = 0$ 时保持常量。这是指数模型的一种等价定义。OpenStax《Calculus Volume 2》§2.8

可以直接求出所有解，而不先猜曲线。把方程乘以 $e^{- r t}$ ，根据乘积求导法则， $\frac{d}{d t} (e^{- r t} N (t)) = e^{- r t} (N^{'} (t) - r N (t)) = 0.$ 所以括号中的乘积恒定，代入 $t = 0$ ，常量就是 $N_{0}$ 。于是 $N (t) = N_{0} e^{r t} .$ 这个推导还包括 $N_{0} = 0$ 的零解，没有在中途除以可能为零的质量。对于正初值，公式保证所有有限时刻的质量为正。

回到翻倍实验，在 $t = 3$ 代入 $N (3) = 100$ ： $100 = 50 e^{3 r}, 2 = e^{3 r}, r = \frac{\ln 2}{3} \approx 0.231049 h^{- 1} .$ 初始增长速率是 $N^{'} (0) = 50 r \approx 11.5525$ mg/h，3 h 时则是 $N^{'} (3) = 100 r \approx 23.1049$ mg/h。质量翻倍，瞬时增加速率也翻倍。

“连续相对增长率为 0.231049 每小时”与“每小时增加 23.1049%”并非同一个说法。完整一小时内，质量一直在变，精确的一小时增长比例为 $\frac{N (t + 1) - N (t)}{N (t)} = e^{r} - 1 = 2^{1 / 3} - 1 \approx 25.9921 % .$ 对很短的间隔 $Δ t$ ，才有 $e^{r Δ t} - 1 \approx r Δ t$ 。连续参数与整段时间百分比的区别，也出现在复利与贴现中。

对数怎样把曲线变成直线

对正质量取相对于初始质量的比值，有 $\ln \frac{N (t)}{N_{0}} = r t .$ 左边是两个同单位质量的比值的对数，因此没有单位。若把纵轴换成 $\ln (N / N_{0})$ ，横轴仍为时间，曲线变成过原点的直线，其斜率就是 $r$ 。这也给出从两个正数值估计参数的方法： $r = \frac{\ln (N (t_{2}) / N (t_{1}))}{t_{2} - t_{1}}, t_{2} > t_{1} .$

上图质量随时间指数增加，下图同一组时间对应的质量比值自然对数为直线，三六九小时依次对应log2、2log2、3log2 — 改的是纵轴代表的量；同一批时刻没有被重新排列。

要求质量达到 300 mg，可以先消去初始规模，再用对数解时间： $300 = 50 e^{r t} ⟹ e^{r t} = 6 ⟹ t = \frac{\ln 6}{r} = \frac{3 \ln 6}{\ln 2} \approx 7.75489 h .$ 图上 300 mg 位于 6 h 的 200 mg 与 9 h 的 400 mg 之间，计算结果与这个位置一致。

若任意起始时刻 $s$ 后再等待 $T$ ，质量比值为 $\frac{N (s + T)}{N (s)} = e^{r T} .$ 它与 $s$ 无关。令比值为 2，得到倍增时间 $T_{2} = \ln 2 / r$ 。因此 50 mg 变为 100 mg 与 200 mg 变为 400 mg，所需时间相同。参数 $r$ 固定正是这个结论的前提。

衰减：每次减去剩余量的一半

再考虑一个充分混合的水箱。箱内体积恒为 $V$ L，清水以 $q$ L/h 流入，混合液以相同流量流出；箱中示踪物不发生其他反应。若剩余质量是 $M (t)$ mg，流出液浓度为 $M / V$ mg/L，因此每小时流出的示踪物质量为 $q M / V$ mg/h。质量守恒给出 $M^{'} (t) = - \frac{q}{V} M (t) = - k M (t), k = \frac{q}{V} > 0.$ 这里不是每小时排出固定质量，而是每小时排出与当前浓度成比例的质量。这类箱体收支模型可见 P. Howard 的大学讲义。《Modeling with ODE》§2，pp.2–4

假设初始为 80 mg，且 $q / V = \ln 2 / 2 h^{- 1}$ 。于是 $M (t) = 80 e^{- (\ln 2) t / 2} = 80 2^{- t / 2} .$ 0、2、4、6 h 的剩余质量依次为 80、40、20、10 mg。前两小时排出 40 mg，随后两小时只排出 20 mg。减少量变小，剩余比例相同。

示踪物质量由八十毫克沿指数曲线下降，每两小时依次减为四十、二十和十毫克，曲线始终在零上方 — 水平虚线标出连续几次减半后的质量；半衰期为2 h。

一般地，令 $M (s + T) / M (s) = 1 / 2$ ，可得半衰期 $T_{1 / 2} = \frac{\ln 2}{k} .$ 若要求剩余质量不超过 5 mg，则 $80 2^{- t / 2} \leq 5 ⟺ 2^{- t / 2} \leq \frac{1}{16} = 2^{- 4} ⟺ t \geq 8 h .$ 这个阈值能在有限时间达到；质量恰好为零则不能，因为指数函数在有限时间内始终为正。模型中“趋近零”与“到达给定小阈值”是不同问题。

什么变化会使指数模型失效

对于培养物，营养耗尽会改变每单位质量的净增长率，长期曲线可能逐渐趋于平台。洛吉斯蒂模型和贡珀茨模型正是两种让相对增长率随规模变化的模型。对于水箱，若混合不充分，出口浓度未必等于箱内平均浓度；若进水含有示踪物，则收支式还须加上流入项，不能继续使用纯衰减方程。

即使比例系数只随时间变化，方程也应改成 $N^{'} = r (t) N$ 。当 $r (t)$ 连续时，同样用积分因子可得 $N (t) = N_{0} \exp (\int_{0}^{t} r (s) d s) .$ 只有 $r (t)$ 恒定，指数中的累计量才是 $r t$ 。例如前 3 h 按上述速率增长、以后停止增长，6 h 的质量仍为 100 mg，而不是 200 mg。

实际数据中的相邻对数斜率可以用来检查“恒定相对速率”是否合理；测量噪声、参数变化和遗漏机制都可能使它变化。对数图接近直线是支持模型的一个线索，不能单凭一条拟合直线证明机制正确。

参考资料

Gilbert Strang、Edwin Herman，Calculus Volume 2，§2.8 Exponential Growth and Decay：指数模型、倍增时间与半衰期。
Peter Howard，Modeling with ODE，2009，§2、§4：从质量收支和种群假设建立微分方程。
相关条目：导数、一阶线性微分方程、差分方程模型、复利与贴现、贡珀茨模型。