圆锥曲线

圆锥曲线是平面与圆锥面相交所得的一类曲线。非退化情形包括椭圆、抛物线和双曲线，圆是椭圆的特例。它们也可由点到焦点、准线或两个焦点的距离关系定义。

三种曲线的距离定义

椭圆上每一点到两个焦点的距离之和为常数；双曲线上每一点到两个焦点的距离之差的绝对值为常数；抛物线上每一点到焦点与到准线的距离相等。距离定义说明了曲线为何具有相应形状，也适用于旋转、平移后的情形。

并排的椭圆、抛物线和双曲线示意，焦点以小点标记，抛物线准线为虚线 — 椭圆是闭合曲线，抛物线有一支，双曲线有两支。示意图使用各自的坐标尺度。

标准方程与参数

曲线	一种标准方程	焦点及条件
椭圆	$x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1$	$a \geq b > 0$ ，焦点为 $(\pm c, 0)$ ， $c^{2} = a^{2} - b^{2}$
抛物线	$y^{2} = 4 p x$	$p > 0$ ，焦点 $(p, 0)$ ，准线 $x = - p$
双曲线	$x^{2} / a^{2} - y^{2} / b^{2} = 1$	$a, b > 0$ ，焦点为 $(\pm c, 0)$ ， $c^{2} = a^{2} + b^{2}$

以上方程的中心或顶点在原点，主轴沿坐标轴。不是所有曲线都以这种朝向出现，竖直开口或旋转后的方程会改变。

从距离推导抛物线

设点 $P = (x, y)$ 到焦点 $(p, 0)$ 的距离等于到直线 $x = - p$ 的距离，则 $\sqrt{(x - p)^{2} + y^{2}} = | x + p | .$ 两边都是非负数，平方后等价地得到 $(x - p)^{2} + y^{2} = (x + p)^{2}$ ，化简即 $y^{2} = 4 p x$ 。例如 $p = 1$ 时，点 $(1, 2)$ 到焦点与准线的距离都为 2，确实在曲线上。

一个椭圆的完整识别

考虑 $x^{2} / 25 + y^{2} / 9 = 1$ 。由 $a = 5, b = 3$ 得 $c = 4$ ，所以焦点为 $(\pm 4, 0)$ ，长轴长 10，短轴长 6。

顶点 $(5, 0)$ 到两焦点的距离为 1 和 9，和为 $2 a = 10$ ；点 $(0, 3)$ 到两焦点的距离均为 5，和也为 10。半轴长 $a, b$ 不能误读成整条轴的长度。

离心率统一描述形状

在焦点—准线定义中，距离比 $e = d (P, F) / d (P, ℓ)$ 称为离心率。 $0 < e < 1$ 对应非圆椭圆， $e = 1$ 对应抛物线， $e > 1$ 对应双曲线；圆通常取离心率 0，但不能使用有限准线直接代入上述距离比得到普通圆。

对椭圆和双曲线， $e = c / a$ 。上例椭圆的离心率为 $4 / 5$ 。离心率描述形状，整体放大曲线不会改变它。

二次方程的分类与退化

一般平面二次方程写为 $A x^{2} + B x y + C y^{2} + D x + E y + F = 0$ 。在非退化且有实点的条件下， $B^{2} - 4 A C$ 的符号区分椭圆型、抛物线型和双曲线型。

只看符号仍不够： $x^{2} + y^{2} + 1 = 0$ 没有实点， $x^{2} + y^{2} = 0$ 只有原点， $x^{2} - y^{2} = 0$ 是两条相交直线。分类时需要检查整条方程是否退化。

理想二体引力模型的轨道可呈圆锥曲线，抛物面反射结构也利用抛物线的几何性质；这些应用依赖各自的物理假设，不能把现实轨迹一概视为精确圆锥曲线。

延伸阅读

OpenStax，《Precalculus 2e》第 10 章：椭圆、双曲线、抛物线与坐标旋转。
勾股定理 · 矩阵 · 数学建模