三元线性方程组的解集

三元线性方程组用几条平面条件限制空间中的点 $(x, y, z)$ 。把所有等式同时满足的点收集起来，就得到解集。它可能为空、只有一个点，或包含一条直线、一个平面乃至整个空间；决定因素是独立约束的数目和右端是否彼此相容。

齐次方程组总有零解

把方程写成 $A x = b$ 。当 $b = 0$ 时称为齐次；无论 $A$ 如何， $x = 0$ 都是解。例如 ${\begin{matrix} x + y + z = 0, \\ 2 x + 2 y + 2 z = 0, \\ x - y = 0. \end{matrix}$ 第二式是第一式的两倍，没提供新约束。第三式给 $y = x$ ；代入第一式得 $z = - 2 x$ 。令 $x = t$ ，全部解是 $(x, y, z) = t (1, 1, - 2)$ 。在空间中，这是一条过原点的直线， $t = 0$ 正是零解。仅数方程条数会误以为有三个限制，消元才能看出只有两个独立条件。

一般齐次系统的解集叫 $A$ 的核。若 $det A \neq 0$ ，三阶矩阵可逆， $A x = 0$ 两边乘 $A^{- 1}$ 得 $x = 0$ ，没有非零解；若行列式为零，列向量线性相关，可找到非零系数使 $A x = 0$ 。这也是行列式与齐次解集之间的精确联系。

非齐次解集是平移后的齐次解集

现在令右端 $b \neq 0$ 。若能先找到一个特解 $x_{p}$ 满足 $A x_{p} = b$ ，那么任意齐次解 $h$ 都给出新解 $A (x_{p} + h) = b + 0 = b$ ；反过来，任意解 $x$ 与 $x_{p}$ 的差满足 $A (x - x_{p}) = 0$ 。所以 ${x : A x = b} = x_{p} + \ker A （在至少有一个特解时） .$

把上例第一、二、三式的右端改为 $1, 2, 0$ 。仍有 $y = x$ ，第一式成为 $2 x + z = 1$ ；取 $x = 0$ 得特解 $x_{p} = (0, 0, 1)$ 。全部解为 $(0, 0, 1) + t (1, 1, - 2)$ ：与齐次直线平行，但不再经过原点。若把第二式的右端由 2 改成 3，左端仍是第一式两倍，右端却不是；相减得 $0 = 1$ ，解集为空。这个反例说明“非齐次解集是平移”有存在特解这一前提。

用秩判断三种情形

把系数矩阵 $A$ 与右端列 $b$ 排成增广矩阵 $[A ∣ b]$ 。若 $rank A < rank [A ∣ b]$ ，右端提供了独立于原系数的矛盾条件，方程组无解。若两秩相等，系统有解；当共同的秩为 3 时解唯一，小于 3 时有自由变量、因而有无穷多个解。对上例一致的两条约束，两个秩均为 2，所以留下一个自由参数；不一致时增广矩阵的秩升为 3。

具体消元步骤见线性方程组与高斯消元；三阶系数矩阵行列式非零时，可用克拉默法则直接给唯一解的坐标。若把方程组看作三个平面的交集，“有三个平面”也不保证一个交点：它们可能沿一条线交会，也可能没有公共点。

参考资料

OpenStax，Precalculus 2e，§9.2 Systems of Linear Equations: Three Variables：三元方程组的求解与几何情形。
MIT OpenCourseWare，18.06SC，Ax=b and the Four Subspaces 单元：特解、零空间及秩。
继续阅读：矩阵的秩、核与像。