克拉默法则

克拉默法则（Cramer's rule）用行列式表示方阵方程 $A x = b$ 的解。它适用于方程数等于未知数个数且 $det A \neq 0$ 的情形。对三元方程组，它给出三个明确的比值；理解这个比值的来处，比背公式更可靠。

用一列替换常数向量

设三阶矩阵 $A = [a_{1} a_{2} a_{3}]$ ，其中 $a_{i}$ 是第 $i$ 列。方程 $A x = b$ 等价于 $b = x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + x_{3} a_{3}$ 。记 $A_{i}$ 为把 $A$ 的第 $i$ 列替换成 $b$ 的矩阵， $D = det A$ ， $D_{i} = det A_{i}$ 。若 $D \neq 0$ ，则 $x_{1} = \frac{D_{1}}{D}, x_{2} = \frac{D_{2}}{D}, x_{3} = \frac{D_{3}}{D} .$

以第一列为例，行列式对这一列线性，故 $D_{1} = det [x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + x_{3} a_{3}, a_{2}, a_{3}] = x_{1} D + x_{2} det [a_{2}, a_{2}, a_{3}] + x_{3} det [a_{3}, a_{2}, a_{3}] = x_{1} D .$ 后两项含有重复列，行列式为零。第二、三列同理。这一推导表明替换的是列：列表示各未知量的系数；把常数向量随意塞进一行，通常不会得到正确的分子。

手算一个三元方程组

考虑 ${\begin{matrix} x + y + z = 2, \\ x - y + z = - 2, \\ x + y - z = 4. \end{matrix}$ 系数矩阵及右端为 $A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 1 \end{matrix}), b = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 4 \end{matrix}) .$ 先从第二、三行分别减去第一行，可得到 $det A = 1 \cdot (- 2) \cdot (- 2) = 4$ 。三个替换行列式依次为 $D_{1} = | \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\ - 2 & - 1 & 1 \\ 4 & 1 & - 1 \end{matrix} | = 4, D_{2} = | \begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & - 2 & 1 \\ 1 & 4 & - 1 \end{matrix} | = 8, D_{3} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix} | = - 4.$ 这些值可以不用硬背三阶展开式。算 $D_{1}$ 时做 $R_{2} \leftarrow R_{2} + R_{1}$ 、 $R_{3} \leftarrow R_{3} - 2 R_{1}$ ，得到第一列下面全零、右下角二阶块 $(\begin{matrix} 0 & 2 \\ - 1 & - 3 \end{matrix})$ ，所以 $D_{1} = 2 [0 \cdot (- 3) - 2 (- 1)] = 4$ 。算 $D_{2}$ 时，下两行各减第一行，右下角成为 $(\begin{matrix} - 4 & 0 \\ 2 & - 2 \end{matrix})$ ，所以 $D_{2} = 8$ 。对 $D_{3}$ 做同样操作，右下角成为 $(\begin{matrix} - 2 & - 4 \\ 0 & 2 \end{matrix})$ ，所以 $D_{3} = - 4$ 。这些行变换只把一行的倍数加到另一行，行列式不变。因此 $(x, y, z) = (1, 2, - 1)$ 。代回三式，左端分别为 $2, - 2, 4$ ，与右端逐项相同。也可消元核对：第二式减第一式给 $- 2 y = - 4$ ，第三式减第一式给 $- 2 z = 2$ ，于是 $y = 2, z = - 1, x = 1$ 。

行列式为零时

若 $D = 0$ ，不能做除法，更不能把分子也为零误判成一个确定的 $0 / 0$ 解。例如 $x + y = 1$ 、 $2 x + 2 y = 2$ 有无穷多解；若第二式右端改成 3，则无解。两种情况的系数行列式都为零。此时用消元或秩判断。

克拉默法则适合小规模方程的符号推导；三元以上若逐个展开行列式，计算量会迅速增加。实际求许多未知数时通常消元，不先求一堆行列式。本例的列替换在几何上相当于比较三个有向体积；体积的来源见向量混合积与体积。

一个二维特例也能看出分母从哪里来：由 $a x + b y = p$ 、 $c x + d y = q$ ，第一式乘 $d$ 、第二式乘 $b$ 后相减，得到 $(a d - b c) x = p d - b q$ 。当 $a d - b c \neq 0$ 时， $x = (p d - b q) / (a d - b c)$ ；同理 $y = (a q - c p) / (a d - b c)$ 。分子正是把对应系数列换成 $(p, q)^{𝖳}$ 后的二阶行列式。三元公式是同一“先消去其余变量”的结构，列线性给出更短的证明。

参考资料

OpenStax，Precalculus 2e，§9.8 Solving Systems with Cramer's Rule：三元方程组的列替换规则及条件。
MIT OpenCourseWare，18.06SC，Determinants 单元：行列式的列线性与可逆性。
继续阅读：行列式、三元线性方程组的解集。