二元函数

二元函数把一对有序输入 $(x,y)$ 送到一个输出 $z=f(x,y)$。正式地说，它是从平面中某个定义域 $D\subseteq {ℝ}^2$ 到实数的映射；同一对输入只能对应一个函数值。自变量有两个，不表示输出也有两个。

从一张等值图读函数

以一个无量纲的示意高度模型为例，令 $$f(x,y)=4-x^2-4y^2,D=\{(x,y):x^2+4y^2\le 4\}.$$ 中心 $(0,0)$ 的高度为 4；$(1,0)$ 和 $(0,1/2)$ 的高度都为 3；椭圆边界上的高度为 0。因此值域是 $[0,4]$。这里 $D$ 是模型允许讨论的椭圆区域，不是多项式表达式本身的天然限制：同一个公式若不限定 $D$，可以在整个平面计算，也会得到负值。

把高度固定在 $c$，所有满足 $f(x,y)=c$ 的平面点组成一条等值线。在本例中，它满足 $x^2+4y^2=4-c$。例如高度 3 的等值线是 $x^2+4y^2=1$；高度 0 的等值线恰是定义域边界。图中的闭合曲线让同一高度的不同位置可见，却不能把曲线内部的每个点都叫作“高度 3”：沿同一条从中心发出的射线向中心移动，本例的高度才逐步升高。

等值线把三维高度压到平面；曲线上高度相同，跨过曲线高度才改变。

截线、曲面与输入范围

若固定 $y=0$，便得到一元截线 $f(x,0)=4-x^2$，只在 $-2\le x\le 2$ 的定义域截面上讨论；固定 $x=0$，则有 $f(0,y)=4-4y^2$，范围是 $-1\le y\le 1$。它们穿过同一中心，但沿 $y$ 方向走同样的坐标距离，高度下降得更快。偏导数研究这些截线在一点的斜率，方向导数与梯度则允许沿任意方向出发。

函数的图像是空间中的点集 $\{(x,y,f(x,y)):(x,y)\in D\}$；等值线是图像被水平高度平面截出后投回 $xy$ 平面的曲线。两种图服务不同的问题：截线看固定一项后的变化，等值线看两项怎样互相补偿，曲面看总体高低。本例处处由多项式给出，故在域内连续；一般二元函数不必自动是光滑曲面，连续与可微须另行检查。

定义域不是画图的附注。例如 $g(x,y)=\sqrt{4-x^2-4y^2}$ 在实数范围内只能取 $x^2+4y^2\le 4$；若把它误当作全平面函数，后续求极值和积分范围都会出错。若研究对象是矩形 $[0,2]\times [0,1]$，则边界和四个角也属于输入；多元函数的极值会把内部驻点与边界候选一起比较。

参考资料

• OpenStax《Calculus Volume 3》§4.1，定义域、图像、截线与等值线。
• MIT 18.02SC 多元微积分，二元函数图像讲义。