亚纯函数

亚纯函数（meromorphic function）是在开集内除孤立极点以外处处全纯的函数。允许的奇异行为是有限阶极点，不包括本性奇点，也不允许极点在定义域内部聚集。把每个极点的函数值设为无穷远，它可以看作取值于黎曼球面的全纯映射；通常不把恒为无穷远的对象列入亚纯函数。

定义域不可省略。$e^{1/z}$ 在去心平面全纯，当然也在那里亚纯；若要求把零包含进定义域，则零处的本性奇点阻止它成为亚纯函数。

局部商与极点阶数

在一点附近，亚纯函数可以写成两个全纯函数的商 $g/h$，其中分母不在该连通邻域恒为零。若在该点有 $$\begin{array}{cc}g(z)& =(z-a{)}^r{g}_0(z),\\ h(z)& =(z-a{)}^s{h}_0(z),\end{array}$$ 且两个带下标函数在 $a$ 都非零，那么约去共同零点后只剩 $(z-a{)}^{r-s}{g}_0/h_0$。当 $s>r$ 时是 $s-r$ 阶极点；当 $s\le r$ 时可全纯补值。因而“分母在这里为零”本身不足以判断真正极点。

反过来，$m$ 阶极点满足 $f(z)=G(z)/(z-a{)}^m$，其中 $G(a)\ne 0$；普通全纯点则可取分母一。这说明局部商的表述与极点表述一致，也使加、减、乘保持亚纯性。在连通区域上非恒零的亚纯函数，其倒数也亚纯；若定义域是一般开集，则须要求每个连通分支上的函数都不恒为零。

一个完整的有理函数算例

取 $$f(z)=\frac{z^2+1}{z(z-1)}.$$ 分子在零、一分别为一、二，均不为零，因此两点都是简单极点。多项式除法及部分分式给出 $$f(z)=1-\frac{1}{z}+\frac{2}{z-1}.$$ 于是零点处留数为负一，一点处留数为二。代入 $z=2$ 得 $1-1/2+2=5/2$，与原式一致。

在无穷远附近，用坐标 $w=1/z$，有 $$f(1/w)=\frac{1+w^2}{1-w}.$$ 它在零全纯，值为一，所以原函数在无穷远是普通点，而不是“所有有理函数都在无穷远有极点”。

变式。 将分子改成 $z^2-1$。约去 $z-1$ 后为 $1+1/z$，故一点是可去点，补值为二；真正极点只剩零，留数为一，无穷远值仍为一。极点与留数都应对约分后的局部表达式判定。

平面上可以有无穷多个极点

$\cot z=\cos z/\sin z$ 在 $k\pi$ 处有简单极点，其中 $k$ 遍历整数。因为正弦的导数在那里是 $\cos (k\pi )\ne 0$，简单极点留数公式给出 $$\mathrm{Res}(\cot z,k\pi )=1.$$ 这些极点在每个有界闭圆盘内只有有限多个，不在有限平面聚集，所以余切在整个复平面亚纯。

若把定义域扩大到黎曼球面，情况不同：这些极点趋向无穷远，导致无穷远的任意邻域里都有别的极点，不能在该点附近满足单个普通点或孤立极点的局部要求。余切并非整个球面上的亚纯函数。

球面上的亚纯函数恰为有理函数

一方面，多项式之商在有限点只有可去点或极点，在倒数坐标下也同样如此，因而有理函数在球面亚纯。

另一方面，设 $f$ 在整个球面亚纯。极点不能在球面聚集；球面紧致，故极点总数有限。对每个有限极点，取其洛朗展开中有限的负次幂部分，将这些主部相加为有理函数 $R$。差 $h=f-R$ 在每个有限点都可全纯补值，因此是整函数。

若无穷远也是普通点，$h$ 在充分大的圆外有界；圆内由连续性有界，刘维尔定理（复分析）使其为常数。若无穷远为 $m$ 阶极点，则 $h$ 的模在大圆外不超过常数倍的 $|z{|}^m$；结合圆内有界性，柯西估计说明 $h$ 是次数至多 $m$ 的多项式。因此两种情形都得到 $f=R+h$ 为有理函数。

这一区分把“局部只有极点”与“全局必须有理”联系起来：后一个结论依赖定义域是整个紧致球面，不能对任意平面亚纯函数直接使用。

参考文献

Jiří Lebl，Guide to Cultivating Complex Analysis，1.9，2026-07-11，§5.2.4（亚纯函数定义及球面有理函数问题），§1.3（无穷远坐标）。