可稳定性

可稳定性（stabilizability）表示系统存在某个反馈，使闭环原点渐近稳定。对于连续时间线性时不变系统，它允许一部分状态不能被控制，前提是那些无法改变的模态本来就稳定。这与可控性所要求的任意状态转移不同。

无法控制的状态也可以自行衰减

设 $\dot{x}=Ax+Bu$，其中 $A=\mathrm{diag}(-2,1)$、$B=(0,1{)}^{𝖳}$。第一状态总满足 $x_1(t)=e^{-2t}{x}_1(0)$，输入不能改变它；第二状态则满足 ${\dot{x}}_2=x_2+u$。取 $u=-3x_2$ 后，第二状态也以 $e^{-2t}$ 衰减。系统不可控，却能稳定化。

若将第一对角元改为 $1$，则 $x_1(t)=e^t{x}_1(0)$ 对任何输入都成立。除了恰好落在 $x_1(0)=0$ 的特殊初态，不可能收敛到原点。因此定义所要求的是所有初态附近都能稳定，而非一条特殊轨迹可以成功。

同样不受输入影响的方向，稳定模态可以保留，不稳定模态则会阻止稳定化。

可控分解与判据

对 $A\in {ℝ}^{n\times n},B\in {ℝ}^{n\times m}$，可稳定性定义为存在 $K\in {ℝ}^{m\times n}$，使 $A-BK$ 的全部特征值实部严格为负。以可控子空间为一部分基，系统可写成 $$\dot{z}=\left(\begin{array}{cc}{A}_c& A_{12}\\ 0& A_u\end{array}\right)z+\left(\begin{array}{c}{B}_c\\ 0\end{array}\right)u.$$ 其中 $(A_c,B_c)$ 可控。任意反馈都不改变右下角 $A_u$。闭环是块上三角矩阵，其特征多项式为两个对角块特征多项式的乘积；所以 $A_u$ 必须稳定。反过来，若 $A_u$ 已稳定，就能用极点配置把 $A_c-B_c{K}_c$ 放到左半平面，得到稳定闭环。这给出必要充分条件：“所有不可控模态稳定”。

等价的PBH秩检验是 $$\mathrm{rank}[\lambda I-A,B]=n\text{对每个 }\lambda \in ℂ,\mathrm{Re}\lambda \ge 0.$$ 只需检查这些范围内的特征值；非特征值时第一块已经可逆。该秩条件排除了左特征向量 $w^{\ast }A=\lambda w^{\ast }$、$w^{\ast }B=0$：对应坐标的动态完全不受输入影响。这里 $w^{\ast }$ 表示共轭转置。

零实部与离散时间

在主例中把不可控特征值改为零，第一状态成为常量，仍然不能渐近趋零；“不增长”不足以满足这里严格稳定的要求。离散时间模型 $x_{k+1}=A{x}_k+B{u}_k$ 需要不可控模态满足 $|\lambda |<1$，相应PBH只检查 $|\lambda |\ge 1$。

可稳定性是许多线性二次调节器结论的一项条件，但单独这一项并不足以保证任意半正定状态权重下的全部最优控制结论，还需检查代价能否看见相关模态。类似地，输入幅值受限时的全局稳定化是另一个问题。

变式。 对 $A=\mathrm{diag}(-1,2)$、$B=(1,0{)}^{𝖳}$，不可控模态是第二坐标的二，系统不可稳定。把 $B$ 改为 $(0,1{)}^{𝖳}$，取 $K=(0,3)$ 后闭环为 $\mathrm{diag}(-1,-1)$，系统即可稳定。