仿射变换

仿射变换（affine transformation）是形如 $f(x)=Ax+b$ 的映射，其中 $A$ 为线性映射的矩阵，$b$ 为固定平移向量。它将线性变换与平移组合起来，并保持系数之和为一的仿射组合。严格的几何术语有时只把可逆映射称为仿射变换，而把一般情形称为仿射映射；本文允许不可逆的 $A$，在需要可逆性时明确指出。

例如 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$、$b=(2,-1{)}^{𝖳}$ 给出 $f(x_1,x_2)=(x_1+x_2+2,x_2-1)$。它先剪切，再将所有点平移同一向量。原点被送到 $(2,-1)$，所以这个映射不是线性的，尽管两点之间的差仍按 $A$ 线性变化。

平移改变位置，线性部分改变差向量

任意两点满足 $f(y)-f(x)=A(y-x)$，平移项在相减时消失。因此线性部分控制方向和相对位移，而 $b=f(0)$ 控制原点的去向。对单位正方形四顶点，主例给出 $$(0,0)\mapsto (2,-1),(1,0)\mapsto (3,-1),(0,1)\mapsto (3,0),(1,1)\mapsto (4,0).$$ 两条边的方向分别变成 $A{e}_1=(1,0)$ 与 $A{e}_2=(1,1)$，所以输出是平行四边形。

四个顶点与中心按同一映射变化，平移不改变边向量之间的关系。

原中心为 $c=(1/2,1/2)$，直接代入得到 $f(c)=(3,-1/2)$；四个输出顶点的平均也是这个点。下面的仿射组合恒等式解释这种对应为何总成立。

保持仿射组合的证明

对任意有限组点 $x_i$ 和实系数 ${\alpha }_i$，若 $\sum _i{\alpha }_i=1$，则 $$\begin{array}{cc}f\left(\sum _i{\alpha }_i{x}_i\right)& =A\sum _i{\alpha }_i{x}_i+b\\ & =\sum _i{\alpha }_{i}A{x}_i+\left(\sum _i{\alpha }_i\right)b\\ & =\sum _i{\alpha }_{i}f(x_i).\end{array}$$ 关键一步是把一个平移项写成系数之和乘它；没有“和为一”，该步就不成立。例如 $f(x+y)$ 含一个 $b$，$f(x)+f(y)$ 却含两个，故一般不满足线性映射的加法性质。

反向若实向量空间间的映射保持所有实系数的有限仿射组合，令 $g(x)=f(x)-f(0)$。对 $tx+(1-t)0$ 使用性质，得到 $g(tx)=tg(x)$；对中点使用性质，再用 $g(2z)=2g(z)$，得到 $g(x+y)=g(x)+g(y)$。因此 $g$ 线性，原映射确可写成 $Ax+b$。这里假设保持全部实系数组合，不是只检查几个中点的数值。

直线、线段与凸性

直线可写成 $x+td$，其像为 $f(x)+tAd$。若 $Ad\ne 0$，像仍为直线；若 $Ad=0$，整条线塌缩为一点。对 $0\le t\le 1$，同一公式说明线段的像恰为两个端点之间的线段，允许退化成点。因此凸集的仿射像仍凸：任意两个像点的凸组合等于原来两点的凸组合的像。

对于可逆仿射变换，共线性、平行性和同一直线上的有向分点比得以保持；长度、角度一般不保持。主例将互相垂直的 $e_1,e_2$ 变成 $(1,0),(1,1)$，夹角变成四十五度，直接反驳“仿射变换一定保角”。有向面积在二维中乘以 $detA$，主例行列式为一，所以面积保持，不能据此推断每条边长保持。

复合、逆与退化变式

若 $f(x)=Ax+b$、$g(x)=Cx+d$，则 $$(g\circ f)(x)=CAx+Cb+d.$$ 平移也要经过后一个线性变换，不能只把两个平移向量相加。若 $A$ 为可逆方阵，$f^{-1}(y)=A^{-1}(y-b)$。主例中由 $y_2=x_2-1$ 得 $x_2=y_2+1$，再得 $x_1=y_1-y_2-3$。

变式将线性部分改为 $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$，保持 $b=(2,-1)$。四个顶点变成 $(2,-1),(3,-1),(2,-1),(3,-1)$，整个正方形压成线段。它仍保持所有仿射组合和凸性，却不再保持不同点、非零面积或可逆性。这说明前面关于保持直线与分点比的叙述需要防止方向被消去。