伯恩赛德引理

伯恩赛德引理计算有限群作用下的轨道数：分别数出每个群元素固定多少个对象，求这些固定点数的平均值，得到在对称变换下的不同对象数。它也称为轨道计数引理。

先数固定对象

设有限群 $G$ 作用在有限集合 $X$ 上。对 $g\in G$，定义固定点集合 $$\mathrm{Fix}(g)=\{x\in X:g\cdot x=x\}.$$ 那么轨道集合 $X/G$ 的大小满足 $$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum _{g\in G}|\mathrm{Fix}(g)|.$$ 这里不同轨道代表不能由所指定的群变换相互得到的对象；变换群不同，“相同”的标准也不同。

双重计数证明

考虑所有满足 $g\cdot x=x$ 的有序对 $(g,x)\in G\times X$。先固定 $g$，这样的 $x$ 有 $|\mathrm{Fix}(g)|$ 个，所以总数是等式右侧的求和分子。

再固定 $x$，允许的 $g$ 恰好是稳定子 $G_x$，故总数也等于 $\sum _{x\in X}|G_x|$。把这个和按轨道分组。对任意轨道 $O$ 和 $x\in O$，轨道稳定子定理给出 $|O||G_x|=|G|$，因此该轨道中所有稳定子大小之和恰为 $|G|$。每个轨道都贡献一个 $|G|$，故总数为 $|X/G||G|$；与前一种计数相等并除以 $|G|$ 即得结论。

三个珠子的两色圆环

把三个位置各涂成两种颜色之一，仅允许旋转，不允许翻面。共有 $2^3=8$ 个带位置的涂色；旋转群有恒等变换、转一格、转两格三个元素。恒等变换固定全部八种；两个非平凡旋转分别要求三个位置同色，因此各固定两种。引理给出 $$\frac{8+2+2}{3}=4$$ 种不同圆环：颜色一出现零次、一次、两次或三次。比如三个“只有一个位置为颜色一”的图案可经旋转互相变换，属于同一轨道。

三个位置、两种颜色，仅按旋转视为相同；四类分别有零、一、二、三个实心位置。

在其他图案中，一个轨道的大小可能不同，简单用对象总数除以群的阶可能不是整数，也可能给错答案。若允许翻面，就必须将相应反射也加入群，并重新统计其固定图案；本例的公式不能不加修改地沿用。原理适用于有限群和有限对象集；无限情形需要额外的测度或其他结构。