群作用

群作用（group action）把一个群的每个元素解释为同一集合上的可逆变换，并要求群乘法与变换的复合一致。它使“若干对象在对称变换下等价”成为可以计算的关系。本文讨论左作用；变换的复合按从右向左的顺序执行。

以正方形为例，把四个顶点依逆时针顺序标成 $0,1,2,3$。逆时针转九十度的变换 $r$ 将顶点 $i$ 送到 $i+1(\mathrm{mod}4)$；关于经过顶点零和二的对角线反射，记为 $s$，则 $s(i)=-i(\mathrm{mod}4)$。先反射再旋转得到 $rs(i)=1-i(\mathrm{mod}4)$。同一个乘法次序既描述对称操作，也描述顶点的输出。

作用的定义与置换表示

设 $G$ 为群，单位元为 $e$，$X$ 为集合。一个左作用是映射 $G\times X\to X$，将 $(g,x)$ 的输出记成 $g\cdot x$，并满足 $$e\cdot x=x,(gh)\cdot x=g\cdot (h\cdot x)(g,h\in G,x\in X).$$ 第一条规定不操作时对象不动；第二条规定先做 $h$ 再做 $g$，必须与群中乘积 $gh$ 的操作相同。这些条件涉及所有群元素和所有对象，而不只是某一张图里的顶点。

固定 $g$ 后，映射 $T_g(x)=g\cdot x$ 自动可逆，因为 $$T_{g^{-1}}(T_g(x))=(g^{-1}g)\cdot x=x.$$ 反向复合也等于恒等映射。因此每个 $T_g$ 都是 $X$ 的一个置换，且 $T_{gh}=T_g\circ T_h$。反过来，一个群同态 $G\to \mathrm{Sym}(X)$ 也定义作用；这里 $\mathrm{Sym}(X)$ 是集合上全部置换组成的群。作用不要求不同的群元素一定给出不同置换。

正方形的八个对称变换组成二面体群 $D_4=\{e,r,r^2,r^3,s,rs,r^{2}s,r^{3}s\}$，满足 $r^4=s^2=e$、$sr=r^{-1}s$。例如对顶点一，$sr(1)=s(2)=2$，而 $rs(1)=r(3)=0$；作用把这两个不相等的群元素的区别具体显示出来。

轨道将集合划分成互不相交的部分

对象 $x\in X$ 的轨道是 $$G\cdot x=\{g\cdot x:g\in G\}.$$ 它收集从 $x$ 出发，允许做群中任一变换后能够到达的对象。正方形顶点零的轨道包含四个顶点；反射没有再增加新顶点。

定义 $x\sim y$ 表示存在 $g\in G$ 使 $y=g\cdot x$。单位元给出 $x\sim x$；若 $y=g\cdot x$，逆元给出 $x=g^{-1}\cdot y$；若又有 $z=h\cdot y$，结合相容性得到 $z=(hg)\cdot x$。所以这是等价关系，其等价类就是轨道。于是两个轨道要么相同，要么没有共同元素，并且全部轨道的并为 $X$。

这也解释了不同作用会产生不同分类。只允许 $\{e,r^2\}$ 作用于四个顶点时，轨道变成 $\{0,2\}$ 与 $\{1,3\}$，因为半周旋转不会把偶数标签送到奇数标签。

稳定子与轨道—稳定子定理

固定 $x$ 不动的群元素构成稳定子 $$G_x=\{g\in G:g\cdot x=x\}.$$ 它是子群：单位元固定 $x$；两个固定 $x$ 的操作复合后仍固定它；若 $g\cdot x=x$，两边再作用 $g^{-1}$ 即得 $g^{-1}\cdot x=x$。正方形中 $G_0=\{e,s\}$，两种操作都把零留在原处。

从八个群元素到四个轨道点，每个点恰对应两个操作。

图右侧将八种操作按顶点零的输出分成四组。要证明这不是巧合，考虑左陪集到轨道的映射 $$\Phi :G/G_x⟶G\cdot x,g{G}_x⟼g\cdot x.$$ 这里 $G/G_x$ 只表示左陪集的集合，不假设 $G_x$ 为正规子群，也不需要把它当成商群。

若 $g{G}_x=h{G}_x$，则 $h^{-1}g\in G_x$，所以 $h^{-1}g\cdot x=x$，再作用 $h$ 得 $g\cdot x=h\cdot x$；映射与陪集代表元无关。反过来，若这两个输出相同，作用 $h^{-1}$ 就得到 $h^{-1}g\in G_x$，从而两个陪集相同；这证明单射。轨道里的每个点按定义都是某个 $g\cdot x$，故又是满射。因此 $$|G\cdot x|=[G:G_x].$$ 当 $G$ 有限时，每个陪集都与 $G_x$ 等势，于是得到轨道—稳定子定理 $$|G|=|G\cdot x||G_x|.$$ 正方形例子中恰为 $8=4\times 2$。定理数的是群元素、轨道点和固定某一点的操作，三者不能混为同一个集合。

作用的几个不同性质

只有一个轨道的非空作用称为传递作用；所有稳定子都只含单位元的作用称为自由作用。正方形的全部八个对称操作对顶点的作用传递而不自由，因为反射 $s$ 固定顶点零。只用四个旋转 $\{e,r,r^2,r^3\}$ 时，作用既传递又自由，每个顶点恰由一种旋转从零得到。

若唯一固定所有对象的群元素是单位元，作用称为忠实作用。其核为 $\bigcap _{x\in X}{G}_x$。忠实并不意味着自由：正方形的八个对称操作没有非单位元固定所有四个顶点，但某些反射仍固定个别顶点。反例的关键是“每个点各自的稳定子”和“所有稳定子的交”不同。

作为变式，让八个对称操作作用于两条对角线的集合，而不再作用于顶点。旋转 $r$ 交换两条对角线，故轨道大小为二；$e,r^2,s,r^{2}s$ 均保持经过零和二的对角线，稳定子大小为四，仍有 $8=2\times 4$。其中非单位元 $r^2$ 固定两条对角线，因此这个作用不忠实。同一个群更换作用对象后，轨道与核都会改变。